Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
g) integral0^infty 2 raizx e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando a Função Gamma. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem a Função Gamma, uma ferramenta poderosa para resolver integrais que não são facilmente solucionáveis por métodos básicos. Para resolver essa integral, vamos precisar entender a definição da Função Gamma e como ela se relaciona com integrais semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral que precisamos resolver:
integral0^infty 2 raizx e^-x^2 , dx
Podemos simplificar a expressão integral0^infty 2 x^1/2 e^-x^2 , dx como , então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir dt = 2x , dx Rightarrow dx = dt2x . Então, derivando ambos os lados em relação a dx = dt2raizt , temos:
Como , substituindo na expressão de :

Passo 4

Substituindo integral0^infty 2 (raizt)^1/2 e^-t cdot dt2raizt = integral0^infty 2 t^1/4 e^-t cdot dt2 t^1/2 e 2 cdot 12 integral0^infty t^1/4 - 1/2 e^-t , dt = integral0^infty t^-1/4 e^-t , dt na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Observamos que a integral resultante se assemelha à definição da Função Gamma:
Gamma(n) = integral0^infty t^n-1 e^-t , dt
Comparando com nossa integral:
Gamma(34) = integral0^infty t^34 - 1 e^-t , dt = integral0^infty t^-1/4 e^-t , dt
Portanto:
integral0^infty 2 raizx e^-x^2 , dx = Gamma(34)

Resposta

A integral é igual a .

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