Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
g)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando a Função Gamma. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem a Função Gamma, uma ferramenta poderosa para resolver integrais que não são facilmente solucionáveis por métodos básicos. Para resolver essa integral, vamos precisar entender a definição da Função Gamma e como ela se relaciona com integrais semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral que precisamos resolver:
Podemos simplificar a expressão como , então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Como , substituindo na expressão de :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Observamos que a integral resultante se assemelha à definição da Função Gamma:
Comparando com nossa integral:
Portanto:

Resposta

A integral é igual a .

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d)
Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
a)
Usando a Função Gamma, mostre que
Dado , mostre que