Usando a Função Gamma, calcule as integrais.
g)
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Passo 1
Vamos resolver a integral
usando a Função Gamma. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem a Função Gamma, uma ferramenta poderosa para resolver integrais que não são facilmente solucionáveis por métodos básicos. Para resolver essa integral, vamos precisar entender a definição da Função Gamma e como ela se relaciona com integrais semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral que precisamos resolver:
Podemos simplificar a expressão
como
, então a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir
. Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Como
, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Observamos que a integral resultante se assemelha à definição da Função Gamma:
Comparando com nossa integral:
Portanto:
Resposta
A integral
é igual a
.
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d)
d)
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a)
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Usando a Função Gamma, mostre que
Dado
, mostre que