Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se as funções e são soluções da equação diferencial ordinária (EDO):
Além disso, precisamos descobrir em qual intervalo essas soluções formam um conjunto fundamental usando o wronskiano . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções e entender o que é um wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é solução da EDO. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Então, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é solução da EDO. Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na EDO:
Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:
Perceba que e se cancelam, restando:
Então, também é uma solução da EDO.

Passo 4

Agora que confirmamos que e são soluções da EDO, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado. Para isso, usamos o wronskiano .
O wronskiano é definido como:
Vamos calcular o wronskiano:

Passo 5

Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o wronskiano deve ser diferente de zero no intervalo considerado.
Analisando :
  • nunca é zero para qualquer valor de .
  • é positivo para todo exceto quando .
Portanto, o wronskiano é diferente de zero para todo .

Resposta

As funções e são soluções da EDO dada e formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo porque o wronskiano é diferente de zero nesse intervalo.

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Dado que , determine a derivada direcional da função no ponto na direção de .
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