Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se as funções e são soluções da equação diferencial ordinária (EDO):
Além disso, precisamos descobrir em qual intervalo essas soluções formam um conjunto fundamental usando o wronskiano . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções e entender o que é um wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é solução da EDO. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Então, é realmente uma solução da EDO.
Passo 3
Agora, vamos verificar se também é solução da EDO. Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na EDO:
Simplificando cada termo:
Somando todos os termos:
Perceba que e se cancelam, restando:
Então, também é uma solução da EDO.
Passo 4
Agora que confirmamos que e são soluções da EDO, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado. Para isso, usamos o wronskiano .
O wronskiano é definido como:
Vamos calcular o wronskiano:
Passo 5
Para que e formem um conjunto fundamental de soluções, o wronskiano deve ser diferente de zero no intervalo considerado.
Analisando :
nunca é zero para qualquer valor de .
é positivo para todo exceto quando .
Portanto, o wronskiano é diferente de zero para todo .
Resposta
As funções e são soluções da EDO dada e formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo porque o wronskiano é diferente de zero nesse intervalo.