Dado o número complexo z= 1 + i, determine o modulo e o argumento de z^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de números complexos! A questão é sobre o número complexo $ z = 1 + i $. A gente precisa encontrar o módulo e o argumento de $ z^4 $. Para isso, vamos usar conceitos de módulo e argumento de números complexos, além das propriedades de potências desses números. Vamos nesse!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o módulo e o argumento de um número complexo. Para um número complexo $ z = a + b i $:
  • Módulo: É a distância do número até a origem no plano complexo, calculada por $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $.
  • Argumento: É o ângulo que o número faz com o eixo real positivo, calculado por $ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $.
Vamos calcular o módulo e o argumento de $ z = 1 + i $.

Passo 3

Calculando o módulo de $ z $:
z
Então, o módulo de $ z $ é $ \sqrt{2} $.

Passo 4

Agora, calculando o argumento de $ z $:
z
Portanto, o argumento de $ z $ é $ \frac{\pi}{4} $.

Passo 5

Queremos encontrar $ z^4 $. Podemos usar a forma trigonométrica do número complexo para facilitar. A forma trigonométrica de $ z $ é:
z^4
Substituindo os valores que encontramos:
z

Passo 6

Para encontrar $ z^4 $, usamos a propriedade das potências de números complexos na forma trigonométrica:
z^4
Aqui, $ n = 4 $. Então:
z^n = |z|^n ( cos(ntheta) + i sin(ntheta) )

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  • $ (\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4 $
  • $ 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi $
Então:
(raiz2)^4 = (raiz2)^2 cdot (raiz2)^2 = 2 cdot 2 = 4

Passo 8

Calculando os valores trigonométricos:
  • $ \cos \pi = -1 $
  • $ \sin \pi = 0 $
Portanto:
cos pi = -1

Resposta

O módulo de $ z^4 $ é $ 4 $ e o argumento é $ \pi $ radianos. Em forma complexa, $ z^4 = -4 $.

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