Dado o número complexo z= 1 + i, determine o modulo e o argumento de z^4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de números complexos! A questão é sobre o número complexo $ z = 1 + i $. A gente precisa encontrar o módulo e o argumento de $ z^4 $. Para isso, vamos usar conceitos de módulo e argumento de números complexos, além das propriedades de potências desses números. Vamos nesse!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o módulo e o argumento de um número complexo. Para um número complexo $ z = a + b i $:
- Módulo: É a distância do número até a origem no plano complexo, calculada por $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $.
- Argumento: É o ângulo que o número faz com o eixo real positivo, calculado por $ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $.
Vamos calcular o módulo e o argumento de $ z = 1 + i $.
Passo 3
Calculando o módulo de $ z $:
Então, o módulo de $ z $ é $ \sqrt{2} $.
Passo 4
Agora, calculando o argumento de $ z $:
Portanto, o argumento de $ z $ é $ \frac{\pi}{4} $.
Passo 5
Queremos encontrar $ z^4 $. Podemos usar a forma trigonométrica do número complexo para facilitar. A forma trigonométrica de $ z $ é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Para encontrar $ z^4 $, usamos a propriedade das potências de números complexos na forma trigonométrica:
Aqui, $ n = 4 $. Então:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
- $ (\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4 $
- $ 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi $
Então:
Passo 8
Calculando os valores trigonométricos:
- $ \cos \pi = -1 $
- $ \sin \pi = 0 $
Portanto:
Resposta
O módulo de $ z^4 $ é $ 4 $ e o argumento é $ \pi $ radianos. Em forma complexa, $ z^4 = -4 $.