(Dado um número inteiro positivo
, considere a seguinte relação em
:
; Determine a classe de equivalência do elemento 0.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um número inteiro positivo
e uma relação de equivalência definida por
, que significa que
divide
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a classe de equivalência do número 0 nessa relação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma classe de equivalência e como usar a congruência módulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa notação quer dizer que quando subtraímos
de
, o resultado é divisível por
. Em outras palavras:
Isso significa que existem alguns inteiros
tais que:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre classe de equivalência. Quando falamos na classe de equivalência de um elemento, estamos falando em todos os elementos que são equivalentes a ele segundo a relação definida. No nosso caso, queremos a classe de equivalência de 0, que chamaremos de
.
Então, a classe de equivalência de 0 é:
Passo 4
Vamos aplicar a definição de congruência para entender melhor o que está dentro da classe
. Se
, isso significa que:
Ou seja,
é divisível por
.
Passo 5
Então, a classe de equivalência de 0 é o conjunto de todos os inteiros que são múltiplos de
. Isso inclui números positivos, negativos e o próprio 0. Podemos escrever isso assim:
Resposta
A classe de equivalência do elemento 0 é o conjunto de todos os múltiplos de
:
Exercícios relacionados
Sejam
e
relações em um conjunto
. Prove que: Se
e
são antissimétricas, então a relação
é antissimétrica;
Para os conjuntos
e
, considere as seguintes relações de
em
:
e
; Determine:
.
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;
p)