(Dado um número inteiro positivo , considere a seguinte relação em : ; Determine a classe de equivalência do elemento 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um número inteiro positivo e uma relação de equivalência definida por , que significa que divide . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a classe de equivalência do número 0 nessa relação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma classe de equivalência e como usar a congruência módulo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação quer dizer que quando subtraímos de , o resultado é divisível por . Em outras palavras:
Isso significa que existem alguns inteiros tais que:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre classe de equivalência. Quando falamos na classe de equivalência de um elemento, estamos falando em todos os elementos que são equivalentes a ele segundo a relação definida. No nosso caso, queremos a classe de equivalência de 0, que chamaremos de .
Então, a classe de equivalência de 0 é:

Passo 4

Vamos aplicar a definição de congruência para entender melhor o que está dentro da classe . Se , isso significa que:
Ou seja, é divisível por .

Passo 5

Então, a classe de equivalência de 0 é o conjunto de todos os inteiros que são múltiplos de . Isso inclui números positivos, negativos e o próprio 0. Podemos escrever isso assim:

Resposta

A classe de equivalência do elemento 0 é o conjunto de todos os múltiplos de :

Exercícios relacionados

Sejam e relações em um conjunto . Prove que: Se e são antissimétricas, então a relação é antissimétrica;
Para os conjuntos e , considere as seguintes relações de em : e ; Determine: .
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;
p)