Sejam e relações em um conjunto . Prove que: Se e são antissimétricas, então a relação é antissimétrica;

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos duas relações, e , definidas em um conjunto . Ambas as relações são antissimétricas. Nosso objetivo é provar que a interseção dessas duas relações, ou seja, , também é antissimétrica.
Conteúdo da matéria: Relações e propriedades de relações, especificamente a propriedade de antissimetria.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma relação ser antissimétrica e como aplicar essa definição à interseção de duas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma relação ser antissimétrica. Uma relação em um conjunto é antissimétrica se, para todo em , sempre que e , então .
Em termos formais:

Passo 3

Agora, queremos provar que é antissimétrica. A interseção consiste em todos os pares que pertencem tanto a quanto a .
Para provar que é antissimétrica, precisamos mostrar que:

Passo 4

Vamos assumir que e . Isso significa que e , além de e .

Passo 5

Como é antissimétrica, pelo fato de e , devemos ter .

Passo 6

Similarmente, como é antissimétrica, pelo fato de e , também devemos ter .

Passo 7

Portanto, independente de qual relação considerarmos, se ambos e pertencem à interseção . Isso satisfaz a definição de uma relação antissimétrica.

Resposta

Assim, provamos que se e são antissimétricas, então a relação também é antissimétrica.

Exercícios relacionados

Para os conjuntos e , considere as seguintes relações de em : e ; Determine: .
Determine:
(a) ;
(Dado um número inteiro positivo , considere a seguinte relação em : ; Determine a classe de equivalência do elemento 0.
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;