Sejam
e
relações em um conjunto
. Prove que: Se
e
são antissimétricas, então a relação
é antissimétrica;
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos duas relações,
e
, definidas em um conjunto
. Ambas as relações são antissimétricas. Nosso objetivo é provar que a interseção dessas duas relações, ou seja,
, também é antissimétrica.
Conteúdo da matéria: Relações e propriedades de relações, especificamente a propriedade de antissimetria.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma relação ser antissimétrica e como aplicar essa definição à interseção de duas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma relação ser antissimétrica. Uma relação
em um conjunto
é antissimétrica se, para todo
em
, sempre que
e
, então
.
Em termos formais:
Passo 3
Agora, queremos provar que
é antissimétrica. A interseção
consiste em todos os pares
que pertencem tanto a
quanto a
.
Para provar que
é antissimétrica, precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos assumir que
e
. Isso significa que
e
, além de
e
.
Passo 5
Como
é antissimétrica, pelo fato de
e
, devemos ter
.
Passo 6
Similarmente, como
é antissimétrica, pelo fato de
e
, também devemos ter
.
Passo 7
Portanto, independente de qual relação considerarmos,
se ambos
e
pertencem à interseção
. Isso satisfaz a definição de uma relação antissimétrica.
Resposta
Assim, provamos que se
e
são antissimétricas, então a relação
também é antissimétrica.
Exercícios relacionados
Para os conjuntos
e
, considere as seguintes relações de
em
:
e
; Determine:
.
Determine:
(a) ;
(a)
(Dado um número inteiro positivo
, considere a seguinte relação em
:
; Determine a classe de equivalência do elemento 0.
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;