Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: ;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto , uma relação de equivalência em , e dois elementos . Precisamos mostrar que certas afirmações relacionadas a são equivalentes. Para isso, vamos utilizar os conceitos de relação de equivalência, que envolve três propriedades principais: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo , temos .
  2. Simétrica: Para todos , se , então .
  3. Transitiva: Para todos , se e , então .
Essas propriedades garantem que a relação organiza os elementos de em classes de equivalência, onde elementos na mesma classe estão relacionados entre si.

Passo 3

Agora, vamos identificar quais afirmações queremos mostrar que são equivalentes a . Geralmente, em demonstrações desse tipo, consideramos variações ou consequências das propriedades de equivalência. Por exemplo:
  1. (pela simetria)
  2. Se e , então (pela transitividade)
Nosso objetivo é mostrar que essas afirmações são realmente equivalentes, ou seja, se uma delas é verdadeira, todas as outras também são, e vice-versa.

Passo 4

Vamos começar mostrando que se , então . Isso está diretamente relacionado à propriedade da simetria da relação de equivalência.
Explicação: A simetria diz que se , então necessariamente . Ou seja, a relação funciona nos dois sentidos.
Portanto, se partirmos de , podemos concluir imediatamente que .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que se e , então . Isso está relacionado à propriedade da transitividade.
Explicação: A transitividade permite que, se está relacionado com , e está relacionado com , então está relacionado com .
Portanto, partindo de e , concluímos que .

Passo 6

Por fim, vamos verificar a reflexividade: para qualquer elemento , temos .
Explicação: A reflexividade garante que todo elemento está relacionado consigo mesmo. Isso é fundamental para que a relação seja uma equivalência.
Embora não estejamos diretamente mostrando uma equivalência aqui, a reflexividade é uma das propriedades que sustentam as demais implicações que utilizamos.

Resposta

Assim, mostramos que as afirmações , e que, se e então , são todas equivalentes dentro do contexto de uma relação de equivalência. Portanto, é equivalente às outras afirmações relacionadas às propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

Exercícios relacionados

(Dado um número inteiro positivo , considere a seguinte relação em : ; Determine a classe de equivalência do elemento 0.
Sejam e relações em um conjunto . Prove que: Se e são antissimétricas, então a relação é antissimétrica;
p)
Seja um conjunto não vazio. Um subconjunto é dito uma partição de se satisfaz as condições: (i) ; Para cada partição acima, encontre uma relação de equivalência em de forma que, para cada , a classe de equivalência de seja um subconjunto de dessa partição.