(Dado um número inteiro positivo n, considere a seguinte relação em Z: a congruente b (mod n) se e somente se n divide (a - b); Mostre que essa é uma relação de equivalência em Z.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que a relação definida por é uma relação de equivalência nos inteiros . Isso significa que precisamos verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos usar conceitos básicos de divisibilidade e relações.

Passo 2

Propriedade Reflexiva: Precisamos mostrar que todo número inteiro está relacionado a si mesmo, ou seja, .
Sabemos que . Como qualquer número divide zero ( para todo ), temos que . Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 3

Propriedade Simétrica: Devemos provar que se , então .
Se , então . Isso implica que para algum inteiro . Então, , e como divide , temos . Logo, . A relação é simétrica.

Passo 4

Propriedade Transitiva: Precisamos mostrar que se e , então .
Sabendo que e , podemos somar essas duas equações: . Assim, divide , ou seja, . Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

Como a relação satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que é uma relação de equivalência em .

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