(Dado um número inteiro positivo
, considere a seguinte relação em
:
; Mostre que essa é uma relação de equivalência em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que a relação
definida por
é uma relação de equivalência nos inteiros
. Isso significa que precisamos verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. Para isso, vamos usar conceitos básicos de divisibilidade e relações.
Passo 2
Propriedade Reflexiva: Precisamos mostrar que todo número inteiro
está relacionado a si mesmo, ou seja,
.
Sabemos que
. Como qualquer número divide zero (
para todo
), temos que
. Portanto, a relação é reflexiva.
Passo 3
Propriedade Simétrica: Devemos provar que se
, então
.
Se
, então
. Isso implica que
para algum inteiro
. Então,
, e como
divide
, temos
. Logo,
. A relação é simétrica.
Passo 4
Propriedade Transitiva: Precisamos mostrar que se
e
, então
.
Sabendo que
e
, podemos somar essas duas equações:
. Assim,
divide
, ou seja,
. Portanto, a relação é transitiva.
Resposta
Como a relação
satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que é uma relação de equivalência em
.
Exercícios relacionados
Para cada função da questão abaixo, calcule o valor de
para que
j)
Converta os ângulos abaixo em graus para radianos e, para cada um, calcule seu seno, cosseno e tangente.
n)