Determine se
existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina
. Estude a continuidade de
em ( 0,0 ), nos três casos.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos saber se o limite dessa função existe quando
se aproxima de
. Além disso, para facilitar, definimos
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente. Substituindo
na função, temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar melhor o limite.
Passo 3
Uma maneira comum de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
. Se os limites forem iguais para todos os caminhos, então o limite geral existe. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
Então, à medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de 1.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
tende ao infinito (não existe um limite finito).
Passo 6
Observamos que ao longo do caminho
, o limite é 1, mas ao longo de
, o limite não existe (vai para o infinito). Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral de
quando
se aproxima de
não existe.
Passo 7
Agora, vamos analisar a continuidade da função em
. Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite quando
se aproxima de
deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Como já vimos que o limite não existe, a função não é contínua em
.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de
não existe, e portanto, a função não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado
. Sejam
e
subconjuntos de
. Determine quando o conjunto
tem elemento mínimo?
Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5000 L de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
(Dado um número inteiro positivo
, considere a seguinte relação em
:
; Para
, determine as classes de equivalência dos elementos
e 2.