Determine se lim (x, y) (x0, y1) f(x, y) existe nos seguintes casos:
& @ f(x, y)=x^2+yx^2+y^2,(x0, y0)=(0,0)
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina f(0,0)=0. Estude a continuidade de f em ( 0,0 ), nos três casos.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos saber se o limite dessa função existe quando se aproxima de . Além disso, para facilitar, definimos . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente. Substituindo f(0,0) = 0^2 + 00^2 + 0^2 = 00 na função, temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar melhor o limite.

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Se os limites forem iguais para todos os caminhos, então o limite geral existe. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho onde f(x, 0) = x^2 + 0x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, à medida que se aproxima de 0, se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caminho onde f(0, y) = 0^2 + y0^2 + y^2 = yy^2 = 1y . Substituindo por 0 na função, temos:
À medida que se aproxima de 0, tende ao infinito (não existe um limite finito).

Passo 6

Observamos que ao longo do caminho , o limite é 1, mas ao longo de , o limite não existe (vai para o infinito). Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral de quando se aproxima de não existe.

Passo 7

Agora, vamos analisar a continuidade da função em . Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .
Como já vimos que o limite não existe, a função não é contínua em .

Resposta

O limite de quando se aproxima de não existe, e portanto, a função não é contínua nesse ponto.

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