Seja u em R^n, n=2 ou n = 3. Uma função f é dita homogênea de grau m pertence a Z, se para todo t > 0, f(t u) = t^m f(u). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
c) f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2) sen(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é verificar se a função é uma função homogênea e, se for, qual é o seu grau de homogeneidade. A matéria aqui é funções homogêneas, que basicamente são funções que, se você escalar todas as suas variáveis por um mesmo número , o valor da função muda de acordo com uma potência de . Para resolver isso, vamos precisar entender como escalar as variáveis e ver se conseguimos expressar como , onde é o grau que queremos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser homogênea de grau . Diz a definição que para todo ,
Como a nossa função só depende de e , podemos ignorar nesse caso. Então, a gente vai calcular e ver como isso se relaciona com .

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando os termos dentro da raiz:
Agora, olhamos para o seno:
Isso porque cancela no numerador e denominador.

Passo 4

Juntando tudo, temos:
Comparando com a definição da função homogênea:
Aqui vemos que , então o grau é igual a 1.

Resposta

A função é homogênea de grau 1.

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