Seja ou . Uma função é dita homogênea de grau , se para todo . Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é verificar se a função é uma função homogênea e, se for, qual é o seu grau de homogeneidade. A matéria aqui é funções homogêneas, que basicamente são funções que, se você escalar todas as suas variáveis por um mesmo número , o valor da função muda de acordo com uma potência de . Para resolver isso, vamos precisar entender como escalar as variáveis e ver se conseguimos expressar como , onde é o grau que queremos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser homogênea de grau . Diz a definição que para todo ,
Como a nossa função só depende de e , podemos ignorar nesse caso. Então, a gente vai calcular e ver como isso se relaciona com .

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando os termos dentro da raiz:
Agora, olhamos para o seno:
Isso porque cancela no numerador e denominador.

Passo 4

Juntando tudo, temos:
Comparando com a definição da função homogênea:
Aqui vemos que , então o grau é igual a 1.

Resposta

A função é homogênea de grau 1.

Exercícios relacionados

Determine se existe nos seguintes casos:
Para as funções a), b) e c) deste exercício, defina . Estude a continuidade de em ( 0,0 ), nos três casos.
Seja um conjunto e considere o conjunto parcialmente ordenado . Sejam e subconjuntos de . Determine quando o conjunto tem elemento mínimo?
(Dado um número inteiro positivo , considere a seguinte relação em : ; Para , determine as classes de equivalência dos elementos e 2.
Seja .
Calcule