Seja
ou
. Uma função
é dita homogênea de grau
, se para todo
. Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o grau
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é verificar se a função é uma função homogênea e, se for, qual é o seu grau de homogeneidade. A matéria aqui é funções homogêneas, que basicamente são funções que, se você escalar todas as suas variáveis por um mesmo número
, o valor da função muda de acordo com uma potência de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como escalar as variáveis e ver se conseguimos expressar
como
, onde
é o grau que queremos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser homogênea de grau
. Diz a definição que para todo
,
Como a nossa função
só depende de
e
, podemos ignorar
nesse caso. Então, a gente vai calcular
e ver como isso se relaciona com
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Agora, olhamos para o seno:
Isso porque
cancela no numerador e denominador.
Passo 4
Juntando tudo, temos:
Comparando com a definição da função homogênea:
Aqui vemos que
, então o grau
é igual a 1.
Resposta
A função é homogênea de grau 1.