Dado um número e fixado um número qualquer , seja para . Prove que, a excessão, eventualmente, de , essa seqüência é decrescente. Prove que ela aproxima e dê uma estimativa do erro que se comete aó se tomar como aproximação de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um número positivo e escolhemos um número inicial . A partir desse número, definimos uma sequência onde cada termo seguinte é calculado usando a fórmula:
A questão pede para provar duas coisas:
Que, exceto possivelmente o primeiro termo , essa sequência é decrescente.
Que essa sequência se aproxima de e dar uma estimativa do erro quando usamos como uma aproximação de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, limites e erros de aproximação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a sequência é decrescente a partir de . Ou seja, queremos mostrar que para todo , exceto talvez para .
Para isso, consideremos a fórmula da sequência:
Vamos comparar com . Se , então , porque estamos dividindo por um número maior que sua raiz quadrada.
Então, é a média de um número maior que () e um número menor que (). Como a média de um número maior e um menor que será menor que o número maior, temos que . Portanto, a sequência está descendo.
Passo 3
Agora, vamos provar que essa sequência se aproxima de . Para isso, vamos assumir que a sequência converge para algum limite . Se a sequência converge, então e ambos se aproximam de .
Então, podemos substituir na equação da sequência:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, (considerando somente a raiz positiva, já que ).
Portanto, a sequência converge para .
Passo 4
Por último, vamos dar uma estimativa do erro quando usamos como aproximação de .
O erro é a diferença entre o valor real e a aproximação :
Sabemos que a sequência está convergindo para e que é decrescente a partir de , então podemos estimar que o erro diminui a cada passo da sequência. Para obter uma estimativa mais precisa, poderíamos analisar quanto a cada iteração a sequência se aproxima de , mas isso envolve um estudo mais aprofundado sobre a velocidade de convergência da sequência.
Resposta
A sequência definida por é decrescente a partir de , converge para e o erro na aproximação diminui a cada passo conforme a sequência se aproxima de .