Prove que é ponto de aderência de uma sequiência se e somente se, qualquer que seja , existem infinitos elementos da scquiiência no intervalo . (Note que esta última afirmação não significa que os infinitos elementos sejam todos distintos, podem até ter todos o mesmo valor.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um número é um ponto de aderência de uma sequência se e somente se, para qualquer , existem infinitos elementos da sequência dentro do intervalo . Aqui, estamos lidando com conceitos de teoria dos limites e ponto de aderência. Vamos precisar entender o que significa um ponto de aderência e como usar a definição de limite de sequência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de aderência. Um número é chamado de ponto de aderência da sequência se há uma subsequência de que converge para . Ou seja, mesmo que a sequência original não convirja para , existe uma parte dela que se aproxima cada vez mais de .

Passo 3

Agora, vamos traduzir essa definição para o que o exercício pede. Queremos mostrar duas coisas:
  1. Se é um ponto de aderência, então para qualquer , há infinitos termos de dentro de .
  2. Se para qualquer existem infinitos termos de em , então é um ponto de aderência.

Passo 4

Vamos começar provando a primeira parte: Se é um ponto de aderência, então para qualquer , existem infinitos elementos de em .
Como é um ponto de aderência, existe uma subsequência que converge para . Isso significa que, dado qualquer , existe um índice a partir do qual todos os termos dessa subsequência estão dentro de . Portanto, há infinitos termos de nessa faixa.

Passo 5

Agora, vamos provar a segunda parte: Se para qualquer existem infinitos elementos de em , então é um ponto de aderência.
Dado que para qualquer há infinitos termos em , podemos construir uma subsequência que converge para . Escolha , depois , , e assim por diante. Para cada , selecione um termo da sequência dentro desse intervalo. Essa subsequência construída vai se aproximar cada vez mais de , ou seja, converge para , fazendo de um ponto de aderência.

Resposta

Assim, provamos que é um ponto de aderência da sequência se e somente se, para qualquer , existem infinitos elementos da sequência dentro do intervalo .

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