Prove que
é ponto de aderência de uma sequiência
se e somente se, qualquer que seja
, existem infinitos elementos da scquiiência no intervalo
. (Note que esta última afirmação não significa que os infinitos elementos sejam todos distintos, podem até ter todos o mesmo valor.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que um número
é um ponto de aderência de uma sequência
se e somente se, para qualquer
, existem infinitos elementos da sequência dentro do intervalo
. Aqui, estamos lidando com conceitos de teoria dos limites e ponto de aderência. Vamos precisar entender o que significa um ponto de aderência e como usar a definição de limite de sequência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de aderência. Um número
é chamado de ponto de aderência da sequência
se há uma subsequência de
que converge para
. Ou seja, mesmo que a sequência original não convirja para
, existe uma parte dela que se aproxima cada vez mais de
.
Passo 3
Agora, vamos traduzir essa definição para o que o exercício pede. Queremos mostrar duas coisas:
- Se
é um ponto de aderência, então para qualquer , há infinitos termos de dentro de . - Se para qualquer
existem infinitos termos de em , então é um ponto de aderência.
Passo 4
Vamos começar provando a primeira parte: Se
é um ponto de aderência, então para qualquer
, existem infinitos elementos de
em
.
Como
é um ponto de aderência, existe uma subsequência
que converge para
. Isso significa que, dado qualquer
, existe um índice a partir do qual todos os termos dessa subsequência estão dentro de
. Portanto, há infinitos termos de
nessa faixa.
Passo 5
Agora, vamos provar a segunda parte: Se para qualquer
existem infinitos elementos de
em
, então
é um ponto de aderência.
Dado que para qualquer
há infinitos termos em
, podemos construir uma subsequência que converge para
. Escolha
, depois
,
, e assim por diante. Para cada
, selecione um termo da sequência dentro desse intervalo. Essa subsequência construída vai se aproximar cada vez mais de
, ou seja, converge para
, fazendo de
um ponto de aderência.
Resposta
Assim, provamos que
é um ponto de aderência da sequência
se e somente se, para qualquer
, existem infinitos elementos da sequência dentro do intervalo
.
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.
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.
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