Seja
e
. Determine as matrizes de mudança
e
e calcule
, sendo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases diferentes para um espaço vetorial bidimensional, chamadas
e
. O objetivo aqui é encontrar as matrizes que vão ajudar a mudar de uma base para a outra, ou seja,
e
. Além disso, vamos calcular as coordenadas de um vetor
na base
, sabendo que ele está representado na base
como
. Para fazer isso, vamos precisar entender como funcionam as mudanças de base e como montar essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Quando temos duas bases diferentes, podemos expressar as coordenadas de um vetor em uma base a partir das coordenadas na outra base usando uma matriz de mudança de base.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de
para
, ou seja,
. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor na base
para as coordenadas na base
.
Para fazer isso, precisamos expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
. Isso significa resolver um sistema de equações para encontrar combinações lineares dos vetores de
que resultem nos vetores de
.
Passo 4
Vamos expressar o primeiro vetor de
, que é
, como uma combinação linear dos vetores de
, ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Agora, da primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
em
:
Então, o primeiro vetor de
em termos de
é:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de
, que é
:
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver para
e
.
Passo 7
Da segunda equação:
Simplificando:
Da primeira equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
em
:
Então, o segundo vetor de
em termos de
é:
Passo 8
Agora que temos as coordenadas dos vetores de
na base
, podemos montar a matriz de mudança de base
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de
na base
.
Então, temos:
Passo 9
Para encontrar a matriz de mudança de base
, que vai de
para
, precisamos calcular a inversa de
. Em álgebra linear, a matriz inversa faz exatamente isso: desfaz a transformação da matriz original.
Vamos calcular a inversa de:
Passo 10
Para encontrar a inversa de uma matriz
, usamos a fórmula:
Onde
,
,
,
.
Calculando o determinante:
Então,
Portanto,
Passo 11
Agora, vamos calcular
, ou seja, as coordenadas do vetor
na base
. Sabemos que
. Para fazer a conversão, usamos a matriz de mudança de base
.
A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 12
Vamos multiplicar as matrizes:
Resposta
Portanto, as matrizes de mudança de base são:
e
Além disso, as coordenadas do vetor
na base
são: