Seja B=(3,-1),(1,-2) e C=(3,2),(2,2). Determine as matrizes de mudança PC B e PB C e calcule vC, sendo vB=(4,3) :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases diferentes para um espaço vetorial bidimensional, chamadas B e C. O objetivo aqui é encontrar as matrizes que vão ajudar a mudar de uma base para a outra, ou seja, PC B e PB C. Além disso, vamos calcular as coordenadas de um vetor v na base C, sabendo que ele está representado na base B como (4,3). Para fazer isso, vamos precisar entender como funcionam as mudanças de base e como montar essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Quando temos duas bases diferentes, podemos expressar as coordenadas de um vetor em uma base a partir das coordenadas na outra base usando uma matriz de mudança de base.

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de B para C, ou seja, PC B. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor na base B para as coordenadas na base C.
Para fazer isso, precisamos expressar cada vetor da base B em termos dos vetores da base C. Isso significa resolver um sistema de equações para encontrar combinações lineares dos vetores de C que resultem nos vetores de B.

Passo 4

Vamos expressar o primeiro vetor de B, que é (3,-1), como uma combinação linear dos vetores de C, ou seja:
(3, -1) = a(3, 2) + b(2, 2)
Isso nos dá o sistema de equações:
3 = 3a + 2b -1 = 2a + 2b
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação:
-1 = 2a + 2b
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
-0,5 = a + b
Agora, da primeira equação:
3 = 3a + 2b
Substituindo b = -0,5 - a na primeira equação:
3 = 3a + 2(-0,5 - a)
3 = 3a - 1 - 2a
3 = a - 1
a = 4
Agora, substituindo a = 4 em b = -0,5 - a:
b = -0,5 - 4 = -4,5
Então, o primeiro vetor de B em termos de C é:
(3, -1) = 4(3, 2) - 4,5(2, 2)

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de B, que é (1,-2):
(1, -2) = c(3, 2) + d(2, 2)
Isso nos dá o sistema:
1 = 3c + 2d -2 = 2c + 2d
Vamos resolver para c e d.

Passo 7

Da segunda equação:
-2 = 2c + 2d
Simplificando:
-1 = c + d
Da primeira equação:
1 = 3c + 2d
Substituindo d = -1 - c na primeira equação:
1 = 3c + 2(-1 - c)
1 = 3c - 2 - 2c
1 = c - 2
c = 3
Agora, substituindo c = 3 em d = -1 - c:
d = -1 - 3 = -4
Então, o segundo vetor de B em termos de C é:
(1, -2) = 3(3, 2) - 4(2, 2)

Passo 8

Agora que temos as coordenadas dos vetores de B na base C, podemos montar a matriz de mudança de base PC B. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de B na base C.
Então, temos:
PC B = 4 & 3 -4,5 & -4

Passo 9

Para encontrar a matriz de mudança de base PB C, que vai de C para B, precisamos calcular a inversa de PC B. Em álgebra linear, a matriz inversa faz exatamente isso: desfaz a transformação da matriz original.
Vamos calcular a inversa de:
PC B = 4 & 3 -4,5 & -4

Passo 10

Para encontrar a inversa de uma matriz 2 times 2, usamos a fórmula:
P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Onde a=4, b=3, c=-4,5, d=-4.
Calculando o determinante:
ad - bc = (4)(-4) - (3)(-4,5) = -16 + 13,5 = -2,5
Então,
P^-1 = 1-2,5 -4 & -3 4,5 & 4 = 1625 & 1225 -1825 & -1625
Portanto,
PB C = 1625 & 1225 -1825 & -1625

Passo 11

Agora, vamos calcular vC, ou seja, as coordenadas do vetor v na base C. Sabemos que vB = (4,3). Para fazer a conversão, usamos a matriz de mudança de base PC B.
A fórmula é:
vC = PC B cdot vB
Substituindo os valores:
vC = 4 & 3 -4,5 & -4 cdot 4 3

Passo 12

Vamos multiplicar as matrizes:
vC = 4 times 4 + 3 times 3 -4,5 times 4 + (-4) times 3 = 16 + 9 -18 + (-12) = 25 -30

Resposta

Portanto, as matrizes de mudança de base são:
PC B = 4 & 3 -4,5 & -4
e
PB C = 1625 & 1225 -1825 & -1625
Além disso, as coordenadas do vetor v na base C são:
vC = 25 -30

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