Seja e . Determine as matrizes de mudança e e calcule , sendo :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases diferentes para um espaço vetorial bidimensional, chamadas e . O objetivo aqui é encontrar as matrizes que vão ajudar a mudar de uma base para a outra, ou seja, e . Além disso, vamos calcular as coordenadas de um vetor na base , sabendo que ele está representado na base como . Para fazer isso, vamos precisar entender como funcionam as mudanças de base e como montar essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma mudança de base. Em álgebra linear, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Quando temos duas bases diferentes, podemos expressar as coordenadas de um vetor em uma base a partir das coordenadas na outra base usando uma matriz de mudança de base.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de para , ou seja, . Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base .
Para fazer isso, precisamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base . Isso significa resolver um sistema de equações para encontrar combinações lineares dos vetores de que resultem nos vetores de .
Passo 4
Vamos expressar o primeiro vetor de , que é , como uma combinação linear dos vetores de , ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 5
Primeiro, da segunda equação:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Agora, da primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Então, o primeiro vetor de em termos de é:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor de , que é :
Isso nos dá o sistema:
Vamos resolver para e .
Passo 7
Da segunda equação:
Simplificando:
Da primeira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :
Então, o segundo vetor de em termos de é:
Passo 8
Agora que temos as coordenadas dos vetores de na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de na base .
Então, temos:
Passo 9
Para encontrar a matriz de mudança de base , que vai de para , precisamos calcular a inversa de . Em álgebra linear, a matriz inversa faz exatamente isso: desfaz a transformação da matriz original.
Vamos calcular a inversa de:
Passo 10
Para encontrar a inversa de uma matriz , usamos a fórmula:
Onde , , , .
Calculando o determinante:
Então,
Portanto,
Passo 11
Agora, vamos calcular , ou seja, as coordenadas do vetor na base . Sabemos que . Para fazer a conversão, usamos a matriz de mudança de base .