Resolva e classifique os sistemas abaixo
2 x1+2 x2+2 x3 & =0 -2 x1+5 x2+2 x3 & =1 8 x1+x2+4 x3 & =-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você mandou! O que estamos lidando aqui são sistemas lineares, que fazem parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar as equações passo a passo até achar os valores das incógnitas. Precisamos das equações:
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 8x1 + x2 + 4x3 = -1

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar. Olhe para a primeira equação:
2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
x1 + x2 + x3 = 0 (Equação 1) çã
Agora, o sistema fica assim:
x1 + x2 + x3 = 0 (Equação 1) -2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 (Equação 2) 8x1 + x2 + 4x3 = -1 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das incógnitas para reduzir o sistema. Vamos eliminar 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0 (Equação 4) . Para isso, multiplicamos a Equação 1 por 2 e somamos com a Equação 2:
Multiplicando a Equa��ão 1 por 2:
(2x1 + 2x2 + 2x3) + (-2x1 + 5x2 + 2x3) = 0 + 1 çã
Agora, some a Equação 4 com a Equação 2:
7x2 + 4x3 = 1 (Equação 5)
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar -8x1 - 8x2 - 8x3 = 0 (Equação 6) usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por -8 e somamos com a Equação 3:
Multiplicando a Equação 1 por -8:
(-8x1 - 8x2 - 8x3) + (8x1 + x2 + 4x3) = 0 + (-1) çã
Somando com a Equação 3:
-7x2 - 4x3 = -1 (Equação 7)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( 7x2 + 4x3 = 1 (Equação 5) -7x2 - 4x3 = -1 (Equação 7) e (7x2 + 4x3) + (-7x2 - 4x3) = 1 + (-1) ):
0 = 0 çãçã
Somando as Equações 5 e 7:
O que resulta em:
Isso significa que as duas equações são equivalentes e não nos dão informações novas. Portanto, temos infinitas soluções. Vamos expressar uma incógnita em função das outras.

Passo 6

Vamos escolher 7x2 + 4t = 1 como parâmetro, ou seja, deixar 7x2 = 1 - 4t x2 = 1 - 4t7 , onde pode ser qualquer número real.
Usando a Equação 5 para encontrar :
Isolando :

Passo 7

Agora, usando a Equação 1 para encontrar x1 + x2 + x3 = 0 :
x1 + 1 - 4t7 + t = 0
Substituindo 7x1 + (1 - 4t) + 7t = 0 e 7x1 + 1 + 3t = 0 7x1 = -1 - 3t x1 = -1 - 3t7 :
Multiplicando tudo por 7 para eliminar o denominador:
Simplificando:

Resposta

O sistema tem infinitas soluções, que podem ser expressas em função do parâmetro x1 = dfrac-1 - 3t7 x2 = dfrac1 - 4t7 x3 = t onde t in R :

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