Dado um número real
, considere a matriz
.
(b) Dados
, mostre que
.
(b) Dados
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A questão fala sobre matrizes de rotação, que são usadas para girar vetores no plano. A matriz
representa uma rotação de um ângulo
. O objetivo aqui é mostrar que, se você multiplicar duas dessas matrizes, uma com ângulo
e outra com ângulo
, o resultado será uma matriz de rotação com o ângulo
. Para resolver isso, a gente vai precisar saber multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar multiplicando as duas matrizes
e
. Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos realizar a multiplicação passo a passo:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Passo 4
Agora, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas importantes:
- Soma de cossenos:
- Soma de senos:
- Expressão para
:
Usando essas identidades, podemos reescrever a matriz resultante da multiplicação:
Resposta
Então, mostramos que
, ou seja, a multiplicação das matrizes de rotação resulta na matriz de rotação com o ângulo somado
.