Dado um número real alpha, considere a matriz Talpha=(cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha).
(b) Dados alpha, beta in R, mostre que Talpha cdot Tbeta=Talpha+beta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A questão fala sobre matrizes de rotação, que são usadas para girar vetores no plano. A matriz representa uma rotação de um ângulo . O objetivo aqui é mostrar que, se você multiplicar duas dessas matrizes, uma com ângulo e outra com ângulo , o resultado será uma matriz de rotação com o ângulo . Para resolver isso, a gente vai precisar saber multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar multiplicando as duas matrizes Talpha cdot Tbeta = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha cdot cos beta & -sin beta sin beta & cos beta e . Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então temos:

Passo 3

Agora, vamos realizar a multiplicação passo a passo:
  1. Elemento (1,1):
cos alpha cdot cos beta + (-sin alpha) cdot sin beta = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
  1. Elemento (1,2):
cos alpha cdot (-sin beta) + (-sin alpha) cdot cos beta = -cos alpha sin beta - sin alpha cos beta
  1. Elemento (2,1):
sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
  1. Elemento (2,2):
sin alpha cdot (-sin beta) + cos alpha cdot cos beta = -sin alpha sin beta + cos alpha cos beta

Passo 4

Agora, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas importantes:
  • Soma de cossenos:
cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta
  • Soma de senos:
sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta
  • Expressão para -sin(alpha + beta) = -sin alpha cos beta - cos alpha sin beta :
Talpha cdot Tbeta = cos(alpha + beta) & -sin(alpha + beta) sin(alpha + beta) & cos(alpha + beta) = Talpha + beta
Usando essas identidades, podemos reescrever a matriz resultante da multiplicação:

Resposta

Então, mostramos que , ou seja, a multiplicação das matrizes de rotação resulta na matriz de rotação com o ângulo somado .

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