Dado um número real , considere a matriz .
(b) Dados , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A questão fala sobre matrizes de rotação, que são usadas para girar vetores no plano. A matriz representa uma rotação de um ângulo . O objetivo aqui é mostrar que, se você multiplicar duas dessas matrizes, uma com ângulo e outra com ângulo , o resultado será uma matriz de rotação com o ângulo . Para resolver isso, a gente vai precisar saber multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar multiplicando as duas matrizes e . Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então temos:

Passo 3

Agora, vamos realizar a multiplicação passo a passo:
  1. Elemento (1,1):
  1. Elemento (1,2):
  1. Elemento (2,1):
  1. Elemento (2,2):

Passo 4

Agora, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas importantes:
  • Soma de cossenos:
  • Soma de senos:
  • Expressão para :
Usando essas identidades, podemos reescrever a matriz resultante da multiplicação:

Resposta

Então, mostramos que , ou seja, a multiplicação das matrizes de rotação resulta na matriz de rotação com o ângulo somado .

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