Dado um número real , considere a matriz .
(b) Dados , mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A questão fala sobre matrizes de rotação, que são usadas para girar vetores no plano. A matriz representa uma rotação de um ângulo . O objetivo aqui é mostrar que, se você multiplicar duas dessas matrizes, uma com ângulo e outra com ângulo , o resultado será uma matriz de rotação com o ângulo . Para resolver isso, a gente vai precisar saber multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar multiplicando as duas matrizes e . Lembrando que a multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos realizar a multiplicação passo a passo:
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Passo 4
Agora, vamos lembrar de algumas identidades trigonométricas importantes:
Soma de cossenos:
Soma de senos:
Expressão para :
Usando essas identidades, podemos reescrever a matriz resultante da multiplicação:
Resposta
Então, mostramos que , ou seja, a multiplicação das matrizes de rotação resulta na matriz de rotação com o ângulo somado .