Sejam B e C dois pontos distintos e M o ponto médio de BC . Prove que, se A é um ponto qualquer, então A B+A C=2 A M.

Passo 1

Vamos lá! Temos dois pontos distintos, B e C, e M que é o ponto médio de BC. O ponto A pode estar em qualquer lugar. A questão pede para provar que a soma dos vetores é igual a duas vezes o vetor . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e a definição de ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto médio. Se M é o ponto médio de BC, significa que BM = MC. Em termos de vetores, isso se expressa como:
BM = 12 BC
Isso porque o ponto médio divide o segmento BC em duas partes iguais.

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores AB = B - A , AC = C - A e AM = M - A em termos dos pontos A, B, C e M. Se considerarmos os vetores posição de cada ponto:

Passo 4

Sabemos que M é o ponto médio de BC, então o vetor posição de M é a média dos vetores posição de B e C:
M = B + C2
Substituindo isso na expressão de AM = B + C2 - A :

Passo 5

Agora, vamos somar os vetores AB + AC = (B - A) + (C - A) = B + C - 2A e :

Passo 6

Comparemos isso com duas vezes o vetor 2AM = 2(B + C2 - A) = B + C - 2A :
AB + AC = 2AM
Vemos que:

Resposta

Provaram que conforme solicitado.

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