Dado um número real alpha, considere a matriz Talpha=(cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha).
© Calcule T-alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde nos dão uma matriz que representa uma rotação no plano em um ângulo . O que precisamos fazer é calcular , ou seja, a matriz de rotação para o ângulo negativo de . Vamos usar conceitos de matrizes de rotação e trigonometria para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a matriz de rotação. A matriz Talpha = cos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha é dada por:
Essa matriz rotaciona um ponto no plano em um ângulo no sentido anti-horário.

Passo 3

Para encontrar T-alpha = cos (-alpha) & -sin (-alpha) sin (-alpha) & cos (-alpha) , substituímos por na matriz de rotação:

Passo 4

Sabemos que as funções cosseno são pares e seno são ímpares, ou seja:
cos (-alpha) = cos alpha sin (-alpha) = -sin alpha
Vamos substituir essas igualdades na matriz:
T-alpha = cos alpha & -(-sin alpha) -sin alpha & cos alpha

Passo 5

Simplificando os sinais:
T-alpha = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha

Resposta

Portanto, a matriz T-alpha = cos alpha & sin alpha -sin alpha & cos alpha é:

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