Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações P=(0,0,0)+t(1,2,4), t in R e P=(1,0,-2)+m(-1,-1,-1), m in R. Verifique se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas trajetórias de pontos no espaço descritas por equações paramétricas:
  • Primeira trajetória: , onde
  • Segunda trajetória: , onde
O conteúdo que vamos usar aqui é o de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente para verificar se duas retas são concorrentes (isto é, se elas se cruzam) e se há uma colisão, ou seja, se os pontos estão no mesmo lugar ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das trajetórias para facilitar a visualização:
Para x = 0 + t cdot 1 = t y = 0 + t cdot 2 = 2t z = 0 + t cdot 4 = 4t :
x = 1 + m cdot (-1) = 1 - m y = 0 + m cdot (-1) = -m z = -2 + m cdot (-1) = -2 - m
Para :

Passo 3

Para verificar se as trajetórias são concorrentes, precisamos encontrar valores de t = 1 - m 2t = -m 4t = -2 - m e que façam com que as coordenadas , e das duas equações sejam iguais simultaneamente. Ou seja, precisamos resolver o sistema:

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos com a primeira equação:
t = 1 - m (Equação 1) çã
Usando a segunda equação:
2t = -m (Equação 2) çã
Substituímos 2(1 - m) = -m 2 - 2m = -m 2 = m da Equação 1 na Equação 2:

Passo 5

Agora que encontramos t = 1 - 2 = -1 , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :

Passo 6

Vamos verificar se esses valores de 4t = -2 - m 4(-1) = -2 - 2 -4 = -4 e satisfazem a terceira equação:
Como a igualdade é verdadeira, os valores encontrados são consistentes para todas as três equações.

Resposta

As trajetórias são concorrentes e haverá uma colisão no ponto quando e .

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