Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações , e . Verifique se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas trajetórias de pontos no espaço descritas por equações paramétricas:
Primeira trajetória: , onde
Segunda trajetória: , onde
O conteúdo que vamos usar aqui é o de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente para verificar se duas retas são concorrentes (isto é, se elas se cruzam) e se há uma colisão, ou seja, se os pontos estão no mesmo lugar ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das trajetórias para facilitar a visualização:
Para :
Para :
Passo 3
Para verificar se as trajetórias são concorrentes, precisamos encontrar valores de t = 1 - m 2t = -m 4t = -2 - m e que façam com que as coordenadas , e das duas equações sejam iguais simultaneamente. Ou seja, precisamos resolver o sistema:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos com a primeira equação:
t = 1 - m (Equação 1) çã
Usando a segunda equação:
2t = -m (Equação 2) çã
Substituímos 2(1 - m) = -m 2 - 2m = -m 2 = m da Equação 1 na Equação 2:
Passo 5
Agora que encontramos t = 1 - 2 = -1 , substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar :
Passo 6
Vamos verificar se esses valores de 4t = -2 - m 4(-1) = -2 - 2 -4 = -4 e satisfazem a terceira equação:
Como a igualdade é verdadeira, os valores encontrados são consistentes para todas as três equações.
Resposta
As trajetórias são concorrentes e haverá uma colisão no ponto quando e .