Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto pertence às retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um ponto e um vetor diretor para a reta dada, além de verificar se o ponto está nessa reta. Vamos trabalhar com equações paramétricas de reta no espaço tridimensional, que envolvem coordenadas , e .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto que está na reta s: x = -3 + lambda y = -1 + lambda z = 2lambda . Nas equações paramétricas, o valor que não é multiplicado pelo parâmetro x = -3 + 0 = -3 y = -1 + 0 = -1 z = 2 times 0 = 0 geralmente nos dá as coordenadas desse ponto.
Olha só:
Quando :
Então, o ponto está na reta .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro x = -3 + lambda Rightarrow coeficiente de lambda em x: 1 y = -1 + lambda Rightarrow coeficiente de lambda em y: 1 z = 2lambda Rightarrow coeficiente de lambda em z: 2 nas equações paramétricas.
Observando as equações:
Portanto, o vetor diretor é .
Passo 4
Vamos verificar se o ponto -1 = -3 + lambda Rightarrow lambda = 2 está na reta 0 = -1 + lambda Rightarrow lambda = 1 . Para isso, substituímos as coordenadas de 2 = 2lambda Rightarrow lambda = 1 nas equações da reta e vemos se existe um valor de que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Substituindo:
Para :
Para :
Para :
Notamos que para , , enquanto para e , . Como não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações, o ponto não está na reta .
Resposta
Um ponto da reta é , o vetor diretor é . Além disso, o ponto não pertence à reta .