Determine um ponto, dois vetores diretores, uma equação geral e uma equação vetorial para o seguinte plano:
pi:l x=1+2 lambda-beta y=-2+lambda+3 beta lambda, beta in R z=3+5 beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar um ponto, dois vetores diretores, uma equação geral e uma equação vetorial para um plano definido pelas seguintes equações paramétricas:
pi:l x=1+2 lambda-beta y=-2+lambda+3 beta lambda, beta in R z=3+5 beta
Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para identificar esses elementos. Precisaremos entender como identificar um ponto no plano, extrair os vetores diretores das equações paramétricas e, a partir daí, formar as equações solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que pertence a esse plano. Para isso, podemos escolher valores simples para os parâmetros lambda e beta. Vamos facilitar escolhendo lambda = 0 e beta = 0.
Substituindo esses valores nas equações paramétricas:
  • x = 1 + 2(0) - 0 = 1
  • y = -2 + 0 + 3(0) = -2
  • z = 3 + 5(0) = 3
Então, um ponto que está no plano é P(1, -2, 3).

Passo 3

Agora, vamos identificar os dois vetores diretores do plano. Os vetores diretores são aqueles que indicam as direções nas quais o plano se estende, baseados nos parâmetros lambda e beta.
Olhemos para as equações paramétricas:
  • O coeficiente de lambda em (x, y, z) é (2, 1, 0).
  • O coeficiente de beta em (x, y, z) é (-1, 3, 5).
Portanto, os dois vetores diretores são:
  • v1 = 2 1 0
  • v2 = -1 3 5

Passo 4

Com o ponto P(1, -2, 3) e os vetores diretores v1 e v2, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano é dada por:
r = r0 + lambda v1 + beta v2
Onde:
  • r é qualquer ponto no plano.
  • r0 é o ponto conhecido no plano, que no nosso caso é P(1, -2, 3).
  • lambda e beta são escalares.
Então, substituindo:
r = 1 -2 3 + lambda 2 1 0 + beta -1 3 5

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano. Para isso, precisamos determinar o vetor normal ao plano, que é perpendicular ao plano. O vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial dos vetores diretores v1 e v2.
Calculando o produto vetorial v1 times v2:
n = i & j & k 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 5 = i(1 cdot 5 - 0 cdot 3) - j(2 cdot 5 - 0 cdot (-1)) + k(2 cdot 3 - 1 cdot (-1))
n = 5 -10 7
Agora, usando o vetor normal n = (5, -10, 7) e o ponto P(1, -2, 3), a equação geral do plano é:
5(x - 1) -10(y + 2) +7(z - 3) = 0
Simplificando:
5x - 5 -10y -20 +7z -21 = 0
5x -10y +7z -46 = 0
Então, a equação geral do plano é:
5x -10y +7z = 46

Resposta

  • Ponto no plano: P(1, -2, 3)
  • Vetores diretores: v1 = 2 1 0 e v2 = -1 3 5
  • Equação vetorial: r = 1 -2 3 + lambda 2 1 0 + beta -1 3 5
  • Equação geral do plano: 5x -10y +7z = 46

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