Determine um ponto, dois vetores diretores, uma equação geral e uma equação vetorial para o seguinte plano:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar um ponto, dois vetores diretores, uma equação geral e uma equação vetorial para um plano definido pelas seguintes equações paramétricas:
pi:l x=1+2 lambda-beta y=-2+lambda+3 beta lambda, beta in R z=3+5 beta
Vamos usar conceitos de Geometria Analítica para identificar esses elementos. Precisaremos entender como identificar um ponto no plano, extrair os vetores diretores das equações paramétricas e, a partir daí, formar as equações solicitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um ponto que pertence a esse plano. Para isso, podemos escolher valores simples para os parâmetros lambda e beta. Vamos facilitar escolhendo lambda = 0 e beta = 0.
Substituindo esses valores nas equações paramétricas:
x = 1 + 2(0) - 0 = 1
y = -2 + 0 + 3(0) = -2
z = 3 + 5(0) = 3
Então, um ponto que está no plano é P(1, -2, 3).
Passo 3
Agora, vamos identificar os dois vetores diretores do plano. Os vetores diretores são aqueles que indicam as direções nas quais o plano se estende, baseados nos parâmetros lambda e beta.
Olhemos para as equações paramétricas:
O coeficiente de lambda em (x, y, z) é (2, 1, 0).
O coeficiente de beta em (x, y, z) é (-1, 3, 5).
Portanto, os dois vetores diretores são:
v1 = 2 1 0
v2 = -1 3 5
Passo 4
Com o ponto P(1, -2, 3) e os vetores diretores v1 e v2, podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano é dada por:
r = r0 + lambda v1 + beta v2
Onde:
r é qualquer ponto no plano.
r0 é o ponto conhecido no plano, que no nosso caso é P(1, -2, 3).
lambda e beta são escalares.
Então, substituindo:
r = 1 -2 3 + lambda 2 1 0 + beta -1 3 5
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano. Para isso, precisamos determinar o vetor normal ao plano, que é perpendicular ao plano. O vetor normal pode ser encontrado fazendo o produto vetorial dos vetores diretores v1 e v2.