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Dado o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z,-x+5 y-z, x-y+3 z)
mostre que o vetor v=(1,-2,1) é autovetor associado ao autovalor lambda=6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear T que transforma vetores em R^3 de uma maneira específica. O problema pede para mostrar que o vetor v = (1, -2, 1) é um autovetor dessa transformação, e que o autovalor associado é lambda = 6. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformação T ao vetor v e verificar se o resultado é o mesmo que multiplicar v por 6.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T ao vetor v = (1, -2, 1). A definição de T é:
T(x, y, z) = (3x - y + z, -x + 5y - z, x - y + 3z)
Substituindo x = 1, y = -2 e z = 1, temos:
T(1, -2, 1) &= (3(1) - (-2) + 1, -1 + 5(-2) - 1, 1 - (-2) + 3(1)) &= (3 + 2 + 1, -1 -10 -1, 1 + 2 + 3) &= (6, -12, 6)

Passo 3

Agora, vamos calcular o que acontece quando multiplicamos o vetor v pelo autovalor lambda = 6:
6 cdot v = 6 cdot (1, -2, 1) = (6 cdot 1, 6 cdot (-2), 6 cdot 1) = (6, -12, 6)

Passo 4

Comparando os resultados de T(v) e 6 cdot v, vemos que:
T(1, -2, 1) = (6, -12, 6) 6 cdot (1, -2, 1) = (6, -12, 6)
Como os dois vetores são iguais, isso significa que aplicar T ao vetor v resulta no mesmo que multiplicar v por 6.

Passo 5

Isso confirma que v = (1, -2, 1) é realmente um autovetor de T e que o autovalor correspondente é lambda = 6. Basicamente, a transformação T estica o vetor v por um fator de 6.

Resposta

O vetor v = (1, -2, 1) é um autovetor da transformação T associado ao autovalor lambda = 6.

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