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Dado o operador linear
definido por
mostre que o vetor
é autovetor associado ao autovalor
.
Dado o operador linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear
que transforma vetores em
de uma maneira específica. O problema pede para mostrar que o vetor
é um autovetor dessa transformação, e que o autovalor associado é
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformação
ao vetor
e verificar se o resultado é o mesmo que multiplicar
por 6.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
ao vetor
. A definição de
é:
Substituindo
,
e
, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o que acontece quando multiplicamos o vetor
pelo autovalor
:
Passo 4
Comparando os resultados de
e
, vemos que:
Como os dois vetores são iguais, isso significa que aplicar
ao vetor
resulta no mesmo que multiplicar
por 6.
Passo 5
Isso confirma que
é realmente um autovetor de
e que o autovalor correspondente é
. Basicamente, a transformação
estica o vetor
por um fator de 6.
Resposta
O vetor
é um autovetor da transformação
associado ao autovalor
.
Exercícios relacionados
Determinar o vetor
tal que
.
Determine os pontos de interseç̧ão da reta
com os eixos coordenados.
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
. Onde ela intersecta o plano
?
Determine os autovalores de
.
Seja um operador linear dado pela matriz
no sistema de coordenadas padrão:
Seja