1
Dado o operador linear definido por
mostre que o vetor é autovetor associado ao autovalor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que transforma vetores em de uma maneira específica. O problema pede para mostrar que o vetor é um autovetor dessa transformação, e que o autovalor associado é . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformação ao vetor e verificar se o resultado é o mesmo que multiplicar por 6.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação ao vetor . A definição de é:
Substituindo , e , temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o que acontece quando multiplicamos o vetor pelo autovalor :

Passo 4

Comparando os resultados de e , vemos que:
Como os dois vetores são iguais, isso significa que aplicar ao vetor resulta no mesmo que multiplicar por 6.

Passo 5

Isso confirma que é realmente um autovetor de e que o autovalor correspondente é . Basicamente, a transformação estica o vetor por um fator de 6.

Resposta

O vetor é um autovetor da transformação associado ao autovalor .

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Determinar o vetor tal que .
Determine os pontos de interseç̧ão da reta com os eixos coordenados.
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Determine os autovalores de .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão: