Determine os autovalores de
.
Seja
um operador linear dado pela matriz
no sistema de coordenadas padrão:
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são números que dizem como o operador linear representado por
“estica” ou “encolhe” vetores no espaço. Para achar esses valores, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a matriz característica, que é
, onde
é o autovalor que estamos procurando e
é a matriz identidade. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz
é dado por
. Então:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, temos a equação característica:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver essa equação quadrática.
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Assim, temos duas soluções para
:
Resposta
Os autovalores de
são
e
.