Determine os autovalores de .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que dizem como o operador linear representado por “estica” ou “encolhe” vetores no espaço. Para achar esses valores, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a matriz característica, que é , onde é o autovalor que estamos procurando e é a matriz identidade. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por . Então:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, temos a equação característica:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver essa equação quadrática.
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: