Determine os autovalores de A.
Seja T: R^2 R^2 um operador linear dado pela matriz A no sistema de coordenadas padrão:
A=(ll 4 & 1 2 & 3 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que dizem como o operador linear representado por “estica” ou “encolhe” vetores no espaço. Para achar esses valores, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a matriz característica, que é A - lambda I = 4 - lambda & 1 2 & 3 - lambda , onde é o autovalor que estamos procurando e é a matriz identidade. No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz a & b c & d det(A - lambda I) = (4 - lambda)(3 - lambda) - (1)(2) é dado por . Então:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
(4 - lambda)(3 - lambda) - 2 = (12 - 4lambda - 3lambda + lambda^2) - 2 = lambda^2 - 7lambda + 10

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
lambda^2 - 7lambda + 10 = 0
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver essa equação quadrática.

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática lambda = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1 = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm raiz92 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 7 pm 32

Passo 7

Assim, temos duas soluções para lambda1 = 7 + 32 = 5 :
lambda2 = 7 - 32 = 2

Resposta

Os autovalores de são e .

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