Determine os autovalores de .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que dizem como o operador linear representado por “estica” ou “encolhe” vetores no espaço. Para achar esses valores, vamos precisar usar o conceito de determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a matriz característica, que é , onde é o autovalor que estamos procurando e é a matriz identidade. No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é dado por . Então:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver essa equação quadrática.

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Assim, temos duas soluções para :

Resposta

Os autovalores de são e .

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Onde ela intersecta o plano ?
1
Dado o operador linear definido por
mostre que o vetor é autovetor associado ao autovalor .
Determine a interseç̧ão da reta , com o cilindro .
Encontre a expressão de .
a matriz canónica de uma transformação linear .