Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Onde ela intersecta o plano ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela ao vetor . Além disso, precisamos descobrir onde essa reta intercepta o plano , que é o plano onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as equações paramétricas de uma reta no espaço e a interseção de uma reta com um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como escrever as equações paramétricas de uma reta no espaço. Se temos um ponto e um vetor diretor , as equações paramétricas da reta são:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
No nosso caso, o ponto tem coordenadas e o vetor diretor , ou seja, , e .

Passo 3

Vamos então substituir esses valores nas equações paramétricas:
Essas são as equações paramétricas da reta que estamos procurando.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o ponto onde essa reta intercepta o plano . No plano , a coordenada é igual a zero. Então, vamos igualar a equação de a zero e resolver para :

Passo 5

Com o valor de , vamos substituir de volta nas equações de e para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
Essa reta intercepta o plano no ponto .

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1
Dado o operador linear definido por
mostre que o vetor é autovetor associado ao autovalor .
Determinar o vetor tal que .
Determine os autovalores de .
Seja um operador linear dado pela matriz no sistema de coordenadas padrão:
Determine a interseç̧ão da reta , com o cilindro .