Dado o operador linear , determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para a gente encontrar o Núcleo de (N(T)) e a Imagem de (Im(T)) para o operador linear definido por . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação linear e usar um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero quando aplicamos . Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso resulta no sistema de equações:
Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, então na verdade temos uma única equação:
Podemos resolver para :
Isso significa que todos os vetores no núcleo são da forma , onde é um número real. Podemos fatorar :
Então, o Núcleo de é gerado pelo vetor .

Passo 3

Agora, vamos determinar a Imagem de , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Para isso, analisamos as colunas da matriz associada a :
Observamos que a segunda coluna é o dobro da primeira ( e ), o que significa que as colunas são linearmente dependentes. Portanto, a Imagem de é gerada apenas pela primeira coluna:
Podemos simplificar isso fatorando um 2:
Então, a Imagem de é toda a reta que passa pela origem na direção do vetor .

Resposta

O Núcleo de é e a Imagem de é .

Exercícios relacionados

Se é um ideal em um anel comutativo e se com , prove que o conjunto
é um ideal tal que .
Seja um ideal em tal que . Prove que ou ou .
Prove que todo ideal em ZZé principal. [Sugestão: Se é um ideal não-nulo em , mostre que deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que , onde é o menor inteiro positivo com .]
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: