Dado o operador linear
, determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para a gente encontrar o Núcleo de
(N(T)) e a Imagem de
(Im(T)) para o operador linear
definido por
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação linear e usar um pouco de álgebra para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero quando aplicamos
. Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso resulta no sistema de equações:
Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, então na verdade temos uma única equação:
Podemos resolver para
:
Isso significa que todos os vetores no núcleo são da forma
, onde
é um número real. Podemos fatorar
:
Então, o Núcleo de
é gerado pelo vetor
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a Imagem de
, que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
. Para isso, analisamos as colunas da matriz associada a
:
Observamos que a segunda coluna é o dobro da primeira (
e
), o que significa que as colunas são linearmente dependentes. Portanto, a Imagem de
é gerada apenas pela primeira coluna:
Podemos simplificar isso fatorando um 2:
Então, a Imagem de
é toda a reta que passa pela origem na direção do vetor
.
Resposta
O Núcleo de
é
e a Imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Se
é um ideal em um anel comutativo
e se
com
, prove que o conjunto
é um ideal tal que
.
Seja
um ideal em
tal que
. Prove que ou
ou
.
Prove que todo ideal em ZZé principal. [Sugestão: Se
é um ideal não-nulo em
, mostre que
deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que
, onde
é o menor inteiro positivo com
.]
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: