Dado o operador linear T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y), determinar N(T) e Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para a gente encontrar o Núcleo de (N(T)) e a Imagem de (Im(T)) para o operador linear definido por . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação linear e usar um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de T(x, y) = (2x + y, 4x + 2y) = (0, 0) , que é o conjunto de todos os vetores 2x + y = 0 4x + 2y = 0 em 2x + y = 0 que são mapeados para o vetor zero quando aplicamos y = -2x . Ou seja, queremos resolver a equação:
(x, -2x) = x(1, -2)
Isso resulta no sistema de equações:
Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, então na verdade temos uma única equação:
Podemos resolver para :
Isso significa que todos os vetores no núcleo são da forma , onde é um número real. Podemos fatorar :
Então, o Núcleo de é gerado pelo vetor .

Passo 3

Agora, vamos determinar a Imagem de A = 2 & 1 4 & 2 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando Im(T) = span 2 4 a algum vetor em Im(T) = span 2 1 2 = span 1 2 . Para isso, analisamos as colunas da matriz associada a :
Observamos que a segunda coluna é o dobro da primeira ( e ), o que significa que as colunas são linearmente dependentes. Portanto, a Imagem de é gerada apenas pela primeira coluna:
Podemos simplificar isso fatorando um 2:
Então, a Imagem de é toda a reta que passa pela origem na direção do vetor .

Resposta

O Núcleo de é e a Imagem de é .

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