Seja
um ideal em
tal que
. Prove que ou
ou
.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre um ideal
nos números inteiros
que está “entre” o ideal gerado por 3, ou seja,
, e
inteiro. O objetivo é mostrar que
só pode ser igual a
ou a
. Para isso, vamos precisar entender o que são ideais em
e como eles se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em
todo ideal é principal, o que significa que ele é gerado por um único número inteiro. Ou seja, qualquer ideal
em
pode ser escrito como
para algum
. Isso simplifica bastante as coisas!
Passo 3
Agora, sabemos que
. Isso quer dizer que todo múltiplo de 3 está em
, e
está contido em todos os inteiros. Como
também é um ideal, ele deve ser gerado por algum número
que divide 3 (porque
).
Passo 4
Vamos pensar nos divisores de 3. Os divisores de 3 em
são
e
. Mas como estamos falando de ideais, os geradores positivos e negativos geram o mesmo ideal. Então, essencialmente, temos
ou
.
Passo 5
Se
, então
, que é uma das opções que precisamos provar. Se
, então
. Mas o ideal
em
é justamente todo o conjunto dos inteiros
, já que qualquer inteiro pode ser obtido multiplicando 1 por ele mesmo.
Passo 6
Portanto, as únicas possibilidades para
são
ou
. Não existe nenhum outro ideal entre
e
nos números inteiros.
Resposta
Concluímos que
é igual a
ou a
.
Exercícios relacionados
Seja
um domínio e
. Mostre que
se, e somente se,
pra algum inversível
.
Mostre que
em
, em que
é o ideal gerado pelo 4 e 6 , e
é o ideal principal gerado pelo 2.
Se
é um ideal em um anel comutativo
e se
com
, prove que o conjunto
é um ideal tal que
.
Dado o operador linear
, determinar
.