Seja um ideal em tal que . Prove que ou ou .

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um ideal nos números inteiros que está “entre” o ideal gerado por 3, ou seja, , e inteiro. O objetivo é mostrar que só pode ser igual a ou a . Para isso, vamos precisar entender o que são ideais em e como eles se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em todo ideal é principal, o que significa que ele é gerado por um único número inteiro. Ou seja, qualquer ideal em pode ser escrito como para algum . Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 3

Agora, sabemos que . Isso quer dizer que todo múltiplo de 3 está em , e está contido em todos os inteiros. Como também é um ideal, ele deve ser gerado por algum número que divide 3 (porque ).

Passo 4

Vamos pensar nos divisores de 3. Os divisores de 3 em são e . Mas como estamos falando de ideais, os geradores positivos e negativos geram o mesmo ideal. Então, essencialmente, temos ou .

Passo 5

Se , então , que é uma das opções que precisamos provar. Se , então . Mas o ideal em é justamente todo o conjunto dos inteiros , já que qualquer inteiro pode ser obtido multiplicando 1 por ele mesmo.

Passo 6

Portanto, as únicas possibilidades para são ou . Não existe nenhum outro ideal entre e nos números inteiros.

Resposta

Concluímos que é igual a ou a .

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é um ideal tal que .
Dado o operador linear , determinar .