Se M é um ideal em um anel comutativo A e se a in A com a notin M, prove que o conjunto
J=m+a b / b in A e m in M
é um ideal tal que M subsetneq J.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que, dado um ideal em um anel comutativo e um elemento que não está em , o conjunto também é um ideal e que está contido em de forma estrita. Isso envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente teoria de ideais em anéis comutativos. Vamos precisar lembrar o que é um ideal e como verificar se um conjunto é realmente um ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel comutativo , um subconjunto é chamado de ideal se:
  1. Fechado sob adição: Se , então .
  2. Fechado sob multiplicação por elementos de : Se e , então .
Nosso objetivo é mostrar que satisfaz essas duas condições.

Passo 3

Mostrando que j1 + j2 = (m1 + a b1) + (m2 + a b2) = (m1 + m2) + a (b1 + b2) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer em . Sejam e , onde e .
Agora, somando e :
Como é um ideal, . E . Portanto, também está em .
Explicação da teoria: Isso mostra que a soma de dois elementos de ainda pertence a , cumprindo a primeira condição para ser um ideal.

Passo 4

Mostrando que r j = r(m + a b) = r m + r a b é fechado sob multiplicação por elementos de :
Pegue um elemento qualquer e um elemento . Vamos multiplicar por :
Como é um ideal, . E ainda é da forma algum elemento de (já que é comutativo). Portanto, onde e . Assim, .
Explicação da teoria: Multiplicar um elemento de por qualquer elemento de resulta em outro elemento de , garantindo a segunda condição para ser um ideal.

Passo 5

Mostrando que m + a cdot 0 = m in J :
Primeiro, mostramos que . Para qualquer , podemos escolher em :
Portanto, todo elemento de está em .
Agora, precisamos mostrar que está estritamente contido em , isto é, existe pelo menos um elemento em que não está em . Sabemos que por hipótese. Considere . Se e , então contém elementos que não estão em , o que mostra que .

Resposta

Assim, demonstramos que é de fato um ideal em e que está estritamente contido em , ou seja, .

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