Se
é um ideal em um anel comutativo
e se
com
, prove que o conjunto
é um ideal tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar que, dado um ideal
em um anel comutativo
e um elemento
que não está em
, o conjunto
também é um ideal e que
está contido em
de forma estrita. Isso envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente teoria de ideais em anéis comutativos. Vamos precisar lembrar o que é um ideal e como verificar se um conjunto é realmente um ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel comutativo
, um subconjunto
é chamado de ideal se:
- Fechado sob adição: Se
, então . - Fechado sob multiplicação por elementos de
: Se e , então .
Nosso objetivo é mostrar que
satisfaz essas duas condições.
Passo 3
Mostrando que
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer em
. Sejam
e
, onde
e
.
Agora, somando
e
:
Como
é um ideal,
. E
. Portanto,
também está em
.
Explicação da teoria: Isso mostra que a soma de dois elementos de
ainda pertence a
, cumprindo a primeira condição para ser um ideal.
Passo 4
Mostrando que
é fechado sob multiplicação por elementos de
:
Pegue um elemento qualquer
e um elemento
. Vamos multiplicar
por
:
Como
é um ideal,
. E
ainda é da forma
algum elemento de
(já que
é comutativo). Portanto,
onde
e
. Assim,
.
Explicação da teoria: Multiplicar um elemento de
por qualquer elemento de
resulta em outro elemento de
, garantindo a segunda condição para ser um ideal.
Passo 5
Mostrando que
:
Primeiro, mostramos que
. Para qualquer
, podemos escolher
em
:
Portanto, todo elemento de
está em
.
Agora, precisamos mostrar que
está estritamente contido em
, isto é, existe pelo menos um elemento em
que não está em
. Sabemos que
por hipótese. Considere
. Se
e
, então
contém elementos que não estão em
, o que mostra que
.
Resposta
Assim, demonstramos que
é de fato um ideal em
e que
está estritamente contido em
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Seja
um ideal em
tal que
. Prove que ou
ou
.
Seja
um domínio e
. Mostre que
se, e somente se,
pra algum inversível
.
Dado o operador linear
, determinar
.
Prove que todo ideal em ZZé principal. [Sugestão: Se
é um ideal não-nulo em
, mostre que
deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que
, onde
é o menor inteiro positivo com
.]