Determine o núcleo das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação linear
definida por
. Pra isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e núcleo, que é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor zero. Vamos precisar resolver um sistema de equações para achar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, lembrando que o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
tal que
. Ou seja, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos olhar pra segunda equação:
. Isso significa que
. Essa relação vai nos ajudar a simplificar a primeira equação.
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação:
Isso nos mostra que a primeira equação é sempre verdadeira quando
, não nos dá mais informações.
Passo 5
Então, a única condição que precisamos é
. Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma
, onde
pode ser qualquer número real. Podemos escrever isso de forma mais geral:
Resposta
O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Assim,