Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: T(x, y)=(8 x+8 y cdot x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o núcleo da transformação linear definida por . Pra isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e núcleo, que é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor zero. Vamos precisar resolver um sistema de equações para achar esses vetores.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o núcleo de 8x + 8y = 0 x + y = 0 é o conjunto de todos os vetores tal que . Ou seja, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos olhar pra segunda equação: . Isso significa que . Essa relação vai nos ajudar a simplificar a primeira equação.

Passo 4

Agora, substituímos 8(-y) + 8y = 0 -8y + 8y = 0 0 = 0 na primeira equação:
Isso nos mostra que a primeira equação é sempre verdadeira quando , não nos dá mais informações.

Passo 5

Então, a única condição que precisamos é Núc<=o(T) = (-y, y) mid y in R . Isso significa que qualquer vetor no núcleo tem a forma , onde pode ser qualquer número real. Podemos escrever isso de forma mais geral:
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Resposta

O núcleo de Núc<=o(T) = (-y, y) mid y in R é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Assim,
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