Prove que todo ideal em ZZé principal. [Sugestão: Se é um ideal não-nulo em , mostre que deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que , onde é o menor inteiro positivo com .]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que quer provar que todo ideal em é principal. Isso está na área de Álgebra, especificamente em Teoria dos Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, o que significa ele ser principal e usar o Algoritmo da Divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal em . Um ideal em é um subconjunto de que é fechado sob adição e que, se você multiplica qualquer elemento de por um inteiro qualquer, o resultado ainda está em .

Passo 3

Queremos mostrar que todo ideal não-nulo em é principal, ou seja, pode ser escrito como para algum inteiro . Para isso, vamos começar mostrando que contém pelo menos um número positivo.

Passo 4

Como é não-nulo, existe pelo menos um elemento . Se for positivo, ótimo. Se não, podemos considerar , que também está em porque os ideais são fechados sob multiplicação por inteiros, incluindo . Assim, podemos assumir sem perda de generalidade que existe um elemento positivo em .

Passo 5

Vamos chamar do menor inteiro positivo em . Sabemos que tal existe porque os inteiros positivos têm um elemento mínimo. Nosso objetivo é mostrar que .

Passo 6

Agora, pegamos qualquer elemento . Usando o Algoritmo da Divisão, podemos escrever , onde e . Como e estão em e é um ideal, a diferença também está em .

Passo 7

Mas é o menor inteiro positivo em , então o resto deve ser zero. Se não fosse, teríamos um inteiro menor que em , o que é uma contradição. Portanto, .

Passo 8

Isso mostra que todo elemento pode ser escrito como múltiplo de , ou seja, . Logo, . Além disso, claramente , então . Assim, .

Resposta

Portanto, todo ideal não-nulo em é principal, ou seja, pode ser escrito na forma para algum inteiro positivo .

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