Prove que todo ideal em ZZé principal. [Sugestão: Se I é um ideal não-nulo em Z, mostre que I deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que I=(c), onde c é o menor inteiro positivo com I.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que quer provar que todo ideal em Z é principal. Isso está na área de Álgebra, especificamente em Teoria dos Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, o que significa ele ser principal e usar o Algoritmo da Divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal em Z. Um ideal I em Z é um subconjunto de Z que é fechado sob adição e que, se você multiplica qualquer elemento de I por um inteiro qualquer, o resultado ainda está em I.

Passo 3

Queremos mostrar que todo ideal não-nulo I em Z é principal, ou seja, pode ser escrito como (c) = c cdot n , | , n in Z para algum inteiro c. Para isso, vamos começar mostrando que I contém pelo menos um número positivo.

Passo 4

Como I é não-nulo, existe pelo menos um elemento a in I. Se a for positivo, ótimo. Se não, podemos considerar -a, que também está em I porque os ideais são fechados sob multiplicação por inteiros, incluindo -1. Assim, podemos assumir sem perda de generalidade que existe um elemento positivo em I.

Passo 5

Vamos chamar c do menor inteiro positivo em I. Sabemos que tal c existe porque os inteiros positivos têm um elemento mínimo. Nosso objetivo é mostrar que I = (c).

Passo 6

Agora, pegamos qualquer elemento a in I. Usando o Algoritmo da Divisão, podemos escrever a = c cdot q + r, onde 0 <= r < c e q in Z. Como a e c cdot q estão em I e I é um ideal, a diferença r = a - c cdot q também está em I.

Passo 7

Mas c é o menor inteiro positivo em I, então o resto r deve ser zero. Se não fosse, teríamos um inteiro menor que c em I, o que é uma contradição. Portanto, a = c cdot q.

Passo 8

Isso mostra que todo elemento a in I pode ser escrito como múltiplo de c, ou seja, a in (c). Logo, I subseteq (c). Além disso, claramente c in I, então (c) subseteq I. Assim, I = (c).

Resposta

Portanto, todo ideal não-nulo em Z é principal, ou seja, pode ser escrito na forma I = (c) para algum inteiro positivo c.

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