Prove que todo ideal em ZZé principal. [Sugestão: Se
é um ideal não-nulo em
, mostre que
deve conter elementos positivos; use o Algoritmo da Divisão para mostrar que
, onde
é o menor inteiro positivo com
.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que quer provar que todo ideal em
é principal. Isso está na área de Álgebra, especificamente em Teoria dos Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, o que significa ele ser principal e usar o Algoritmo da Divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal em
. Um ideal
em
é um subconjunto de
que é fechado sob adição e que, se você multiplica qualquer elemento de
por um inteiro qualquer, o resultado ainda está em
.
Passo 3
Queremos mostrar que todo ideal não-nulo
em
é principal, ou seja, pode ser escrito como
para algum inteiro
. Para isso, vamos começar mostrando que
contém pelo menos um número positivo.
Passo 4
Como
é não-nulo, existe pelo menos um elemento
. Se
for positivo, ótimo. Se não, podemos considerar
, que também está em
porque os ideais são fechados sob multiplicação por inteiros, incluindo
. Assim, podemos assumir sem perda de generalidade que existe um elemento positivo em
.
Passo 5
Vamos chamar
do menor inteiro positivo em
. Sabemos que tal
existe porque os inteiros positivos têm um elemento mínimo. Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 6
Agora, pegamos qualquer elemento
. Usando o Algoritmo da Divisão, podemos escrever
, onde
e
. Como
e
estão em
e
é um ideal, a diferença
também está em
.
Passo 7
Mas
é o menor inteiro positivo em
, então o resto
deve ser zero. Se não fosse, teríamos um inteiro menor que
em
, o que é uma contradição. Portanto,
.
Passo 8
Isso mostra que todo elemento
pode ser escrito como múltiplo de
, ou seja,
. Logo,
. Além disso, claramente
, então
. Assim,
.
Resposta
Portanto, todo ideal não-nulo em
é principal, ou seja, pode ser escrito na forma
para algum inteiro positivo
.
Exercícios relacionados
Dado o operador linear
, determinar
.
Se
é um ideal em um anel comutativo
e se
com
, prove que o conjunto
é um ideal tal que
.
Determine o núcleo das transformações lineares abaixo:
Determinar a distância do ponto
ao plano