Determine os autovalores e os autoespaços dos seguintes operadores lineares no plano:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear
definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. O operador
pode ser escrito na forma matricial assim:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores (
) da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
onde
é a matriz identidade de mesma dimensão que
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá os valores de
:
Passo 7
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autoespaços correspondentes. O autoespaço de um autovalor
é o conjunto de vetores não nulos
que satisfazem
.
Passo 8
Vamos começar com
:
Resolvendo
:
Isso implica que
. Então, os vetores do tipo
, onde
é qualquer número real, pertencem ao autoespaço de
.
Passo 9
Agora, para
:
Resolvendo
:
Da primeira equação, temos
. Portanto, os vetores do tipo
, onde
é qualquer número real, pertencem ao autoespaço de
.
Resposta
Os autovalores de
são
e
.
-
O autoespaço associado a
é formado por todos os vetores do tipo , onde é um número real. -
O autoespaço associado a
é formado por todos os vetores do tipo , onde é um número real.