Determine os autovalores e os autoespaços dos seguintes operadores lineares no plano:
T(x, y)=(x+2 y,-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 2 0 & -1 como uma matriz. O operador pode ser escrito na forma matricial assim:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) da matriz , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 2 0 & -1 - lambda :

Passo 5

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (0 cdot 2) = (1 - lambda)(-1 - lambda)

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica:
(1 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Isso nos dá os valores de lambda1 = 1 e lambda2 = -1 :

Passo 7

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autoespaços correspondentes. O autoespaço de um autovalor é o conjunto de vetores não nulos que satisfazem .

Passo 8

Vamos começar com A - 1 I = 0 & 2 0 & -2 :
0 cdot v1 + 2 v2 = 0 0 cdot v1 - 2 v2 = 0
Resolvendo :
Isso implica que . Então, os vetores do tipo , onde é qualquer número real, pertencem ao autoespaço de .

Passo 9

Agora, para A - (-1) I = 2 & 2 0 & 0 :
2 v1 + 2 v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
Resolvendo :
Da primeira equação, temos . Portanto, os vetores do tipo , onde é qualquer número real, pertencem ao autoespaço de .

Resposta

Os autovalores de são e .
  • O autoespaço associado a é formado por todos os vetores do tipo , onde é um número real.
  • O autoespaço associado a é formado por todos os vetores do tipo , onde é um número real.

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