Dado um operador linear
, defina o adjunto de
. Ele sempre existe?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão pede para definirmos o adjunto de um operador linear
e determinar se ele sempre existe. Para isso, vamos precisar entender o que é um adjunto de um operador linear e quais são as condições para sua existência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial
para ele mesmo, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, temos
.
Passo 3
O adjunto de um operador linear, denotado por
, é outro operador linear que está relacionado ao operador original
por meio de um produto interno definido no espaço vetorial
. Mais precisamente, para todos os vetores
e
em
, temos:
Aqui,
representa o produto interno em
.
Passo 4
Para definir o adjunto, é necessário que o espaço
seja um espaço com produto interno, ou seja, um espaço pré-Hilbert. Se o espaço não tiver um produto interno definido, não podemos falar em adjunto.
Passo 5
Assumindo que
tem um produto interno, o adjunto
sempre existe em espaços finitamente dimensionais. Isso porque, em espaços finitamente dimensionais com produto interno, para qualquer operador linear
, sempre podemos encontrar outro operador
que satisfaça a condição do adjunto.
Passo 6
Já em espaços infinitamente dimensionais, a existência do adjunto depende de propriedades adicionais do operador
, como ser limitado (no contexto de espaços de Hilbert). Nem todo operador linear terá um adjunto nesses casos.
Passo 7
Portanto, a existência do adjunto de um operador linear
depende do tipo de espaço vetorial e das propriedades do operador. Em espaços finitamente dimensionais com produto interno, o adjunto sempre existe. Em espaços infinitamente dimensionais, a existência não é garantida para todos os operadores.
Resposta
O adjunto de um operador linear
é o operador
que satisfaz
para todos os vetores
. Ele sempre existe em espaços vetoriais com produto interno finitamente dimensionais, mas nem sempre existe em espaços infinitamente dimensionais.
Exercícios relacionados
Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:
Seja
e sejam
em
definidas por
Mostre que
é base de
.
Mostre que se
é um operador linear e
esp. vetorial com produto interno sobre
satisfazendo:
para todos
então