Dado um operador linear , defina o adjunto de . Ele sempre existe?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão pede para definirmos o adjunto de um operador linear e determinar se ele sempre existe. Para isso, vamos precisar entender o que é um adjunto de um operador linear e quais são as condições para sua existência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para ele mesmo, respeitando as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, temos .

Passo 3

O adjunto de um operador linear, denotado por , é outro operador linear que está relacionado ao operador original por meio de um produto interno definido no espaço vetorial . Mais precisamente, para todos os vetores e em , temos:
Aqui, representa o produto interno em .

Passo 4

Para definir o adjunto, é necessário que o espaço seja um espaço com produto interno, ou seja, um espaço pré-Hilbert. Se o espaço não tiver um produto interno definido, não podemos falar em adjunto.

Passo 5

Assumindo que tem um produto interno, o adjunto sempre existe em espaços finitamente dimensionais. Isso porque, em espaços finitamente dimensionais com produto interno, para qualquer operador linear , sempre podemos encontrar outro operador que satisfaça a condição do adjunto.

Passo 6

Já em espaços infinitamente dimensionais, a existência do adjunto depende de propriedades adicionais do operador , como ser limitado (no contexto de espaços de Hilbert). Nem todo operador linear terá um adjunto nesses casos.

Passo 7

Portanto, a existência do adjunto de um operador linear depende do tipo de espaço vetorial e das propriedades do operador. Em espaços finitamente dimensionais com produto interno, o adjunto sempre existe. Em espaços infinitamente dimensionais, a existência não é garantida para todos os operadores.

Resposta

O adjunto de um operador linear é o operador que satisfaz para todos os vetores . Ele sempre existe em espaços vetoriais com produto interno finitamente dimensionais, mas nem sempre existe em espaços infinitamente dimensionais.

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Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:
Seja e sejam em definidas por
Mostre que é base de .
Mostre que se é um operador linear e esp. vetorial com produto interno sobre satisfazendo:
para todos então