Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \\ \frac{1}{x}+\frac{3}{y}-\frac{5}{z}=0 \\ \frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}=1\end{array}\right.$.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas, que são \( x \), \( y \) e \( z \). O objetivo é resolver esse sistema usando a **Regra de Cramer**, que é uma técnica para encontrar as soluções de sistemas lineares utilizando determinantes. Para isso, vamos precisar reorganizar o sistema e calcular alguns determinantes.
Passo 2
Vamos começar simplificando as equações para facilitar a aplicação da Regra de Cramer. Vamos fazer uma substituição:
\[
a = \frac{1}{x}, \quad b = \frac{1}{y}, \quad c = \frac{1}{z}
\]
Substituindo na matriz original, o sistema fica:
\[
\begin{cases}
a + b + c = 0 \\
a + 3b - 5c = 0 \\
a + 2b - 3c = 1
\end{cases}
\]
Agora temos um sistema linear padrão com as incógnitas \( a \), \( b \) e \( c \).
Passo 3
A Regra de Cramer nos diz que para resolver esse sistema, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes obtidas substituindo uma coluna pelos termos constantes.
Vamos escrever a matriz dos coeficientes \( D \):
\[
D = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 3 & -5 \\
1 & 2 & -3
\end{vmatrix}
\]
Em seguida, calculamos os determinantes \( D_a \), \( D_b \) e \( D_c \) substituindo, respectivamente, as colunas de \( a \), \( b \) e \( c \) pelos termos constantes do lado direito das equações.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o determinante \( D \):
\[
D = 1 \cdot (3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 1)
\]
\[
D = 1 \cdot (-9 + 10) - 1 \cdot (-3 + 5) + 1 \cdot (2 - 3)
\]
\[
D = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 1 - 2 -1 = -2
\]
Passo 5
Agora, vamos calcular \( D_a \), substituindo a primeira coluna por 0, 0 e 1:
\[
D_a = \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 3 & -5 \\
1 & 2 & -3
\end{vmatrix}
\]
\[
D_a = 0 \cdot (3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 2) - 1 \cdot (0 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 2 - 3 \cdot 1)
\]
\[
D_a = 0 - 1 \cdot (0 +5) + 1 \cdot (0 -3) = 0 -5 -3 = -8
\]
Passo 6
Agora, calculamos \( D_b \), substituindo a segunda coluna por 0, 0 e 1:
\[
D_b = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -5 \\
1 & 1 & -3
\end{vmatrix}
\]
\[
D_b = 1 \cdot (0 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot1 - 0 \cdot1)
\]
\[
D_b = 1 \cdot (0 +5) - 0 + 1 \cdot (1 -0) = 5 +1 =6
\]
Passo 7
Por fim, calculamos \( D_c \), substituindo a terceira coluna por 0, 0 e 1:
\[
D_c = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
\]
\[
D_c = 1 \cdot (3 \cdot1 -0 \cdot2) - 1 \cdot (1 \cdot1 -0 \cdot1) + 0 \cdot (1 \cdot2 -3 \cdot1)
\]
\[
D_c = 1 \cdot3 -1 \cdot1 +0 =3 -1 =2
\]
Passo 8
Agora que temos todos os determinantes, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar \( a \), \( b \) e \( c \):
\[
a = \frac{D_a}{D} = \frac{-8}{-2} =4
\]
\[
b = \frac{D_b}{D} = \frac{6}{-2} =-3
\]
\[
c = \frac{D_c}{D} = \frac{2}{-2} =-1
\]
Lembrando que \( a = \frac{1}{x} \), \( b = \frac{1}{y} \) e \( c = \frac{1}{z} \), podemos encontrar \( x \), \( y \) e \( z \):
\[
x = \frac{1}{a} = \frac{1}{4} \\
y = \frac{1}{b} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \\
z = \frac{1}{c} = \frac{1}{-1} = -1
\]
Resposta
A solução do sistema é:
\[
x = \frac{1}{4}, \quad y = -\frac{1}{3}, \quad z = -1
\]