Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \\ \frac{1}{x}+\frac{3}{y}-\frac{5}{z}=0 \\ \frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}=1\end{array}\right.$.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas, que são \( x \), \( y \) e \( z \). O objetivo é resolver esse sistema usando a **Regra de Cramer**, que é uma técnica para encontrar as soluções de sistemas lineares utilizando determinantes. Para isso, vamos precisar reorganizar o sistema e calcular alguns determinantes.

Passo 2

Vamos começar simplificando as equações para facilitar a aplicação da Regra de Cramer. Vamos fazer uma substituição: \[ a = \frac{1}{x}, \quad b = \frac{1}{y}, \quad c = \frac{1}{z} \] Substituindo na matriz original, o sistema fica: \[ \begin{cases} a + b + c = 0 \\ a + 3b - 5c = 0 \\ a + 2b - 3c = 1 \end{cases} \] Agora temos um sistema linear padrão com as incógnitas \( a \), \( b \) e \( c \).

Passo 3

A Regra de Cramer nos diz que para resolver esse sistema, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes obtidas substituindo uma coluna pelos termos constantes. Vamos escrever a matriz dos coeficientes \( D \): \[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} \] Em seguida, calculamos os determinantes \( D_a \), \( D_b \) e \( D_c \) substituindo, respectivamente, as colunas de \( a \), \( b \) e \( c \) pelos termos constantes do lado direito das equações.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o determinante \( D \): \[ D = 1 \cdot (3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) \] \[ D = 1 \cdot (-9 + 10) - 1 \cdot (-3 + 5) + 1 \cdot (2 - 3) \] \[ D = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 1 - 2 -1 = -2 \]

Passo 5

Agora, vamos calcular \( D_a \), substituindo a primeira coluna por 0, 0 e 1: \[ D_a = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} \] \[ D_a = 0 \cdot (3 \cdot (-3) - (-5) \cdot 2) - 1 \cdot (0 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 2 - 3 \cdot 1) \] \[ D_a = 0 - 1 \cdot (0 +5) + 1 \cdot (0 -3) = 0 -5 -3 = -8 \]

Passo 6

Agora, calculamos \( D_b \), substituindo a segunda coluna por 0, 0 e 1: \[ D_b = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix} \] \[ D_b = 1 \cdot (0 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot (-3) - (-5) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot1 - 0 \cdot1) \] \[ D_b = 1 \cdot (0 +5) - 0 + 1 \cdot (1 -0) = 5 +1 =6 \]

Passo 7

Por fim, calculamos \( D_c \), substituindo a terceira coluna por 0, 0 e 1: \[ D_c = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ D_c = 1 \cdot (3 \cdot1 -0 \cdot2) - 1 \cdot (1 \cdot1 -0 \cdot1) + 0 \cdot (1 \cdot2 -3 \cdot1) \] \[ D_c = 1 \cdot3 -1 \cdot1 +0 =3 -1 =2 \]

Passo 8

Agora que temos todos os determinantes, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar \( a \), \( b \) e \( c \): \[ a = \frac{D_a}{D} = \frac{-8}{-2} =4 \] \[ b = \frac{D_b}{D} = \frac{6}{-2} =-3 \] \[ c = \frac{D_c}{D} = \frac{2}{-2} =-1 \] Lembrando que \( a = \frac{1}{x} \), \( b = \frac{1}{y} \) e \( c = \frac{1}{z} \), podemos encontrar \( x \), \( y \) e \( z \): \[ x = \frac{1}{a} = \frac{1}{4} \\ y = \frac{1}{b} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{c} = \frac{1}{-1} = -1 \]

Resposta

A solução do sistema é: \[ x = \frac{1}{4}, \quad y = -\frac{1}{3}, \quad z = -1 \]

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