Seja e sejam em definidas por
Mostre que é base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto forma uma base para , onde é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Isso envolve conceitos de espaços vetoriais, dualidade e bases. Vamos precisar verificar se esses três funcionais são lineares e se são linearmente independentes, além de checar se eles geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é o espaço dual de , ou seja, o conjunto de todas as aplicações lineares de para . Como tem dimensão 3 (pois os polinômios de grau no máximo 2 têm três coeficientes: constante, linear e quadrático), também tem dimensão 3. Portanto, se conseguirmos mostrar que são linearmente independentes, elas automaticamente formarão uma base para .

Passo 3

Vamos verificar a linearidade de cada . Uma aplicação é linear se, para quaisquer polinômios e em e escalar , temos:
Como cada é uma integral linear em , as três aplicações , e são lineares.

Passo 4

Agora, para mostrar que são linearmente independentes, vamos supor que existe uma combinação linear igual a zero:
Isso significa que, para todo :
Precisamos mostrar que .

Passo 5

Vamos escolher polinômios específicos para facilitar a resolução. Considere os polinômios da base canônica de : , , e .
Aplicando a combinação linear a cada um desses polinômios, temos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Multiplicando a segunda equação por 2 e a terceira por 3 para simplificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, também.

Resposta

Como a única solução é , os funcionais são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Exercícios relacionados

Dado um operador linear , defina o adjunto de . Ele sempre existe?
Mostre que se é um operador linear e esp. vetorial com produto interno sobre satisfazendo:
para todos então
Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer: