Seja
e sejam
em
definidas por
Mostre que
é base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto
forma uma base para
, onde
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Isso envolve conceitos de espaços vetoriais, dualidade e bases. Vamos precisar verificar se esses três funcionais são lineares e se são linearmente independentes, além de checar se eles geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é o espaço dual de
, ou seja, o conjunto de todas as aplicações lineares de
para
. Como
tem dimensão 3 (pois os polinômios de grau no máximo 2 têm três coeficientes: constante, linear e quadrático),
também tem dimensão 3. Portanto, se conseguirmos mostrar que
são linearmente independentes, elas automaticamente formarão uma base para
.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade de cada
. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer polinômios
e
em
e escalar
, temos:
Como cada
é uma integral linear em
, as três aplicações
,
e
são lineares.
Passo 4
Agora, para mostrar que
são linearmente independentes, vamos supor que existe uma combinação linear igual a zero:
Isso significa que, para todo
:
Precisamos mostrar que
.
Passo 5
Vamos escolher polinômios específicos para facilitar a resolução. Considere os polinômios da base canônica de
:
,
, e
.
Aplicando a combinação linear a cada um desses polinômios, temos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Multiplicando a segunda equação por 2 e a terceira por 3 para simplificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Substituindo
e
na terceira equação:
Então,
também.
Resposta
Como a única solução é
, os funcionais
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para
.
Exercícios relacionados
Dado um operador linear
, defina o adjunto de
. Ele sempre existe?
Mostre que se
é um operador linear e
esp. vetorial com produto interno sobre
satisfazendo:
para todos
então
Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer: