Seja V=P2(R) e sejam f1, f2, f3 em V^* definidas por
f1(p)=integral0^1 p(x) d x f2(p)=integral0^2 p(x) d x f3(p)=integral0^-1 p(x) d x
Mostre que f1, f2, f3 é base de V^*.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto f1, f2, f3 forma uma base para V^*, onde V = P2(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Isso envolve conceitos de espaços vetoriais, dualidade e bases. Vamos precisar verificar se esses três funcionais são lineares e se são linearmente independentes, além de checar se eles geram todo o espaço V^*.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que V^* é o espaço dual de V, ou seja, o conjunto de todas as aplicações lineares de V para R. Como V tem dimensão 3 (pois os polinômios de grau no máximo 2 têm três coeficientes: constante, linear e quadrático), V^* também tem dimensão 3. Portanto, se conseguirmos mostrar que f1, f2, f3 são linearmente independentes, elas automaticamente formarão uma base para V^*.

Passo 3

Vamos verificar a linearidade de cada fi. Uma aplicação f é linear se, para quaisquer polinômios p e q em V e escalar a, temos:
f(p + q) = f(p) + f(q)
f(a p) = a f(p)
Como cada fi(p) é uma integral linear em p, as três aplicações f1, f2 e f3 são lineares.

Passo 4

Agora, para mostrar que f1, f2, f3 são linearmente independentes, vamos supor que existe uma combinação linear igual a zero:
a f1 + b f2 + c f3 = 0
Isso significa que, para todo p in V:
a integral0^1 p(x) dx + b integral0^2 p(x) dx + c integral0^-1 p(x) dx = 0
Precisamos mostrar que a = b = c = 0.

Passo 5

Vamos escolher polinômios específicos para facilitar a resolução. Considere os polinômios da base canônica de V: p0(x) = 1, p1(x) = x, e p2(x) = x^2.
Aplicando a combinação linear a cada um desses polinômios, temos:
  1. Para p0(x) = 1:
a integral0^1 1 dx + b integral0^2 1 dx + c integral0^-1 1 dx = a(1) + b(2) + c(-1) = a + 2b - c = 0
  1. Para p1(x) = x:
a integral0^1 x dx + b integral0^2 x dx + c integral0^-1 x dx = a(12) + b(2) + c(12)(-1) = a2 + 2b - c2 = 0
  1. Para p2(x) = x^2:
a integral0^1 x^2 dx + b integral0^2 x^2 dx + c integral0^-1 x^2 dx = a(13) + b(83) + c(13) = a3 + 8b3 + c3 = 0

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
  1. a + 2b - c = 0
  2. a2 + 2b - c2 = 0
  3. a3 + 8b3 + c3 = 0
Multiplicando a segunda equação por 2 e a terceira por 3 para simplificar:
  1. a + 2b - c = 0
  2. a + 4b - c = 0
  3. a + 8b + c = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(a + 4b - c) - (a + 2b - c) = 0 Rightarrow 2b = 0 Rightarrow b = 0
Substituindo b = 0 na primeira equação:
a - c = 0 Rightarrow a = c
Substituindo b = 0 e a = c na terceira equação:
a + 0 + a = 0 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0
Então, c = 0 também.

Resposta

Como a única solução é a = b = c = 0, os funcionais f1, f2, f3 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para V^*.

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