Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo: A=(cc-2 & -7 1 & 2)

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede pra encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz -2 & -7 1 & 2 . Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. A gente vai precisar lembrar como encontrar os autovalores resolvendo o determinante da matriz igual a zero e depois achar os vetores que satisfazem essa condição para cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores. Pra isso, a gente monta a equação característica que é A - lambda I = -2 - lambda & -7 1 & 2 - lambda .
A matriz det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(2 - lambda) - (-7)(1) fica:
= (-2)(2 - lambda) - lambda(2 - lambda) + 7
O determinante dessa matriz é:
= (-4 + 2lambda) - (2lambda - lambda^2) + 7
= -4 + 2lambda - 2lambda + lambda^2 + 7
= lambda^2 + 3
lambda^2 + 3 = 0
lambda^2 = -3 implies lambda = pm raiz-3 = pm iraiz3
Então, a equação característica é:
Resolvendo para :
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com -2 - iraiz3 & -7 1 & 2 - iraiz3 x y = 0 0 .
Para (-2 - iraiz3)x - 7y = 0 , montamos o sistema x + (2 - iraiz3)y = 0 :
x = -(2 - iraiz3)y
Isso nos dá as equações:
v1 = -(2 - iraiz3) 1
v1 = -2 + iraiz3 1
Podemos resolver uma das equações para encontrar a relação entre -2 + iraiz3 & -7 1 & 2 + iraiz3 x y = 0 0 e (-2 + iraiz3)x - 7y = 0 . Por exemplo, da segunda equação:
x + (2 + iraiz3)y = 0
Então, o autovetor correspondente a x = -(2 + iraiz3)y é:
v2 = -(2 + iraiz3) 1
Simplificando, temos:
v2 = -2 - iraiz3 1
Repetindo o processo para :
Montamos :
As equações são:
Da segunda equação:
Então, o autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz -2 + iraiz3 1 são -2 - iraiz3 1 e . As bases dos autoespaços correspondentes são geradas pelos vetores e , respectivamente.

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