Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede pra encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz
. Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. A gente vai precisar lembrar como encontrar os autovalores resolvendo o determinante da matriz
igual a zero e depois achar os vetores que satisfazem essa condição para cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os autovalores. Pra isso, a gente monta a equação característica que é
.
A matriz
fica:
O determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:
Resolvendo para
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Para
, montamos o sistema
:
Isso nos dá as equações:
Podemos resolver uma das equações para encontrar a relação entre
e
. Por exemplo, da segunda equação:
Então, o autovetor correspondente a
é:
Simplificando, temos:
Repetindo o processo para
:
Montamos
:
As equações são:
Da segunda equação:
Então, o autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
. As bases dos autoespaços correspondentes são geradas pelos vetores
e
, respectivamente.