Determine os autolvalores e as bases para os auto-espaços das matrizes abaixo:

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede pra encontrar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz . Isso tá dentro do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. A gente vai precisar lembrar como encontrar os autovalores resolvendo o determinante da matriz igual a zero e depois achar os vetores que satisfazem essa condição para cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os autovalores. Pra isso, a gente monta a equação característica que é .
A matriz fica:
O determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:
Resolvendo para :
Então, os autovalores são e .

Passo 3

Agora, vamos achar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Para , montamos o sistema :
Isso nos dá as equações:
Podemos resolver uma das equações para encontrar a relação entre e . Por exemplo, da segunda equação:
Então, o autovetor correspondente a é:
Simplificando, temos:
Repetindo o processo para :
Montamos :
As equações são:
Da segunda equação:
Então, o autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz são e . As bases dos autoespaços correspondentes são geradas pelos vetores e , respectivamente.

Exercícios relacionados

Determine os valores de para que os sistemas sejam normais:
.
Verifique se os sistemas abaixo são normais:
.
Dado um operador linear , defina o adjunto de . Ele sempre existe?