Dado o operador linear T: V V, seja N(T) o núcleo de T. Mostre que T^2=0 se, e somente se, forall v in V tem-se T(v) in N(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear e o núcleo desse operador, que a gente denota por . A questão quer a gente mostrar que acontece se, e somente se, para todo vetor em , está no núcleo de . Vamos precisar entender o que significa o núcleo de um operador e como a composição de operadores funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo N(T) = v in V mid T(v) = 0 é o conjunto de todos os vetores em que, quando aplicamos o operador neles, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa . Aqui, é a composição de com ele mesmo, ou seja, aplicar duas vezes. Então, para qualquer . Dizer que significa que, para todo , .

Passo 4

Vamos primeiro provar a implicação direta: se T(T(v)) = 0 , então para todo T(v) in N(T) , está em .
Sabendo que para todo , temos:
Isso significa exatamente que está no núcleo de , ou seja:

Passo 5

Agora, a outra direção: se para todo T^2(v) = T(T(v)) = 0 , , então .
Se , pelo definição do núcleo, . Portanto, para todo :
O que implica que é o operador zero, ou seja, .

Resposta

Prontinho! Mostramos que se, e somente se, para todo , está no núcleo de . 🎉

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