Dado o operador linear
, seja
o núcleo de
. Mostre que
se, e somente se,
tem-se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear
e o núcleo desse operador, que a gente denota por
. A questão quer a gente mostrar que
acontece se, e somente se, para todo vetor
em
,
está no núcleo de
. Vamos precisar entender o que significa o núcleo de um operador e como a composição de operadores funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo
é o conjunto de todos os vetores
em
que, quando aplicamos o operador
neles, resultam no vetor zero. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
. Aqui,
é a composição de
com ele mesmo, ou seja, aplicar
duas vezes. Então,
para qualquer
. Dizer que
significa que, para todo
,
.
Passo 4
Vamos primeiro provar a implicação direta: se
, então para todo
,
está em
.
Sabendo que
para todo
, temos:
Isso significa exatamente que
está no núcleo de
, ou seja:
Passo 5
Agora, a outra direção: se para todo
,
, então
.
Se
, pelo definição do núcleo,
. Portanto, para todo
:
O que implica que
é o operador zero, ou seja,
.
Resposta
Prontinho! Mostramos que
se, e somente se, para todo
,
está no núcleo de
. 🎉
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