Suponha que os planos e têm exatamente um ponto em comum. Existe uma reta que seja simultaneamente paralela a e ?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala que os planos , e têm exatamente um ponto em comum. Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e retas, e paralelismo. Precisamos descobrir se existe uma reta que é paralela aos três planos ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta é paralela a um plano se ela nunca corta esse plano, ou seja, se a direção da reta está “alinhada” com o plano. Tecnicamente, isso significa que o vetor direção da reta é perpendicular ao vetor normal do plano.

Passo 3

Agora, se quisermos que uma reta seja paralela aos três planos , e , o vetor direção dessa reta precisa ser perpendicular aos vetores normais dos três planos. Vamos chamar os vetores normais dos planos de , e .

Passo 4

Para que exista uma direção que seja perpendicular a todos esses vetores normais, as matrizes formadas por esses vetores devem ter uma solução comum. Isso só acontece se os vetores normais forem coplanares, ou seja, se eles estiverem no mesmo plano e poderem ser combinados linearmente.

Passo 5

Mas, como os três planos se intersectam em apenas um ponto, isso indica que os vetores normais , e são linearmente independentes. Ou seja, não há um único vetor que seja perpendicular a todos eles simultaneamente.

Resposta

Não, não existe uma reta que seja simultaneamente paralela aos planos , e .

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