Sejam r e s duas retas reversas e
um ponto qualquer do espaço. Diga como obter: um par de planos paralelos contendo r e s, respectivamente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas retas
e
que são reversas, ou seja, não se encontram e nem são paralelas. Além disso, temos um ponto qualquer no espaço chamado
. O que precisamos fazer é descobrir como criar um par de planos paralelos, onde um plano contém a reta
e o outro contém a reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como plano paralelo e retas reversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que duas retas são reversas quando não estão no mesmo plano e não se cruzam. Para criar planos que contenham essas retas e sejam paralelos, precisamos garantir que a direção entre os planos seja a mesma, ou seja, as retas que definem a direção dos planos devem ser paralelas.
Passo 3
Vamos escolher o ponto
para nos ajudar a definir os planos. Para a reta
, vamos pensar em um plano que passa por
e por
. Esse plano vai ter uma direção definida pela reta
e pela linha que liga
a qualquer ponto de
.
Passo 4
De maneira similar, para a reta
, vamos criar outro plano que passa por
e também por
. Esse segundo plano terá uma direção definida pela reta
e pela linha que liga
a qualquer ponto de
.
Passo 5
Agora, para que os dois planos sejam paralelos, precisamos que as direções que os definem sejam paralelas. Ou seja, a direção da reta
no primeiro plano deve ser paralela à direção da reta
no segundo plano. Como
e
são reversas, isso garante que os planos criados não se intersectarão e sim serão paralelos.
Resposta
Então, para obter um par de planos paralelos contendo as retas
e
, respectivamente, fazemos o seguinte:
- Criamos um plano que passa pela reta
e pelo ponto . - Criamos outro plano que passa pela reta
e pelo ponto . - Garantimos que as direções das retas
e sejam paralelas nos respectivos planos.
Dessa forma, temos dois planos paralelos, cada um contendo uma das retas
e
.
Exercícios relacionados
Suponha que os planos
e
têm exatamente um ponto em comum. Existe uma reta que seja simultaneamente paralela a
e
?
Dado o operador linear
, seja
o núcleo de
. Mostre que
se, e somente se,
tem-se
.
Sejam
subespaços de
tais que
. Mostre que existe um operador linear
tal que
e
.
Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas
e o espaço das matrizes triangulares inferiores (
se
).