Sejam u=(1,0,1) e v=(-1,0,2)
c) obtenha então dois vetores ortonormais w1 e w2 coplanares com u e v cdot(2raiz5, 0, raiz55) e (-raiz55, 0, 2 raiz55)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (1, 0, 1) e v = (-1, 0, 2), e a missão aqui é achar dois vetores ortonormais, w1 e w2, que estão no mesmo plano que u e v. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especialmente a ortonormalização de vetores. Vamos precisar usar o processo de Gram-Schmidt para garantir que os vetores resultantes sejam ortonormais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortonormais. Vetores ortonormais são vetores que são ambos ortogonais (ou seja, o ângulo entre eles é 90 graus) e cada um tem magnitude 1. Para conseguir isso, usamos o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em um conjunto ortonormal.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor, u = (1, 0, 1). Precisamos normalizá-lo para que tenha magnitude 1. A fórmula para a normalização é:
w1 = u||u||
Primeiro, calculamos a magnitude de u:
||u|| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Então, o vetor normalizado é:
w1 = (1raiz2, 0, 1raiz2)

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o vetor v = (-1, 0, 2) em relação a w1. A fórmula para isso é:
v' = v - projw1 v
Onde a projeção de v em w1 é:
projw1 v = ( v cdot w1w1 cdot w1 ) w1
Calculando o produto escalar v cdot w1:
v cdot w1 = (-1) ( 1raiz2 ) + 0 cdot 0 + 2 ( 1raiz2 ) = -1 + 2raiz2 = 1raiz2
Então,
projw1 v = 1raiz2 cdot w1 = 1raiz2 cdot ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) = ( 12, 0, 12 )
Agora, subtraímos essa projeção de v:
v' = (-1, 0, 2) - ( 12, 0, 12 ) = ( -32, 0, 32 )

Passo 5

Vamos normalizar v' para obter w2. Primeiro, calculamos a magnitude de v':
||v'|| = raiz(-32)^2 + 0^2 + (32)^2 = raiz94 + 0 + 94 = raiz184 = raiz92 = 3raiz2
Então, o vetor normalizado é:
w2 = v'||v'|| = ( -323raiz2, 0, 323raiz2 ) = ( -raiz22, 0, raiz22 )

Passo 6

Simplificando os vetores, temos:
w1 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) = ( 2raiz5, 0, raiz55 )
w2 = ( -raiz22, 0, raiz22 ) = ( -raiz55, 0, 2raiz55 )

Resposta

Os dois vetores ortonormais coplanares com u e v são:
w1 = ( 2raiz5, 0, raiz55 )
w2 = ( -raiz55, 0, 2 raiz55 )

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