Dado um p0 e p1 inicial, pense num exemplo geométrico de uma função contínua em que o método da secante falha para encontrar seu zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois pontos iniciais, e , e precisa pensar em um exemplo geométrico de uma função contínua onde o método da secante não consegue encontrar o zero dessa função. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona o método da secante e entender o que faz ele falhar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é o método da secante. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de onde . Ele usa duas aproximações iniciais, e , e traça uma secante (uma linha que corta a curva em dois pontos). O ponto onde essa linha corta o eixo é a próxima aproximação, , e o processo se repete.

Passo 3

Agora, vamos criar um exemplo de função contínua onde esse método pode falhar. Pense na função . Essa função é contínua em todo lugar, inclusive em , onde tem um ponto de mínimo.

Passo 4

Vamos ver por que o método da secante falha com essa função. Suponha que escolhemos f(p0) = |-1| = 1 f(p1) = |1| = 1 e m = f(p1) - f(p0)p1 - p0 = 1 - 11 - (-1) = 02 = 0 . Calculamos a secante entre esses pontos:
1 = 0
A inclinação da secante é:
A equação da secante seria então , porque passa pelos pontos e . Agora, quando tentamos encontrar onde essa linha corta o eixo , procuramos :
Isso não tem solução, ou seja, a secante não corta o eixo nesse caso. Então, o método não consegue avançar para encontrar a raiz.

Resposta

Um exemplo é a função contínua com as aproximações iniciais e . Nesse caso, o método da secante falha em encontrar o zero porque a secante entre esses pontos é uma linha horizontal que nunca corta o eixo .

Exercícios relacionados