A tabela abaixo apresenta a máxima demanda diária de energia elétrica numa cidade:
data 21 / jan 31 / jan 10 / fev 20 / fev
demanda (MW) 10 15 20 13
Determine o polinômio de Lagrange de grau 3 que interpola os pontos e a data de pico máximo.

Passo 1

Olá! Vamos resolver o exercício que envolve encontrar o polinômio de Lagrange de grau 3 que passa pelos pontos dados na tabela de demanda de energia elétrica. O conteúdo principal aqui é interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange. Para resolver isso, precisamos entender como construir o polinômio que interpola os pontos fornecidos e, depois, determinar a data em que ocorre o pico máximo de demanda.

Passo 2

Primeiro, vamos atribuir valores numéricos às datas para facilitar os cálculos. Vamos considerar o dia 21 de janeiro como o dia 0. Assim:
  • 21/Jan: dias
  • 31/Jan: dias
  • 10/Fev: dias
  • 20/Fev: dias
E as demandas correspondentes são:
  • MW
  • MW
  • MW
  • MW

Passo 3

O próximo passo é construir o polinômio de Lagrange. O polinômio de Lagrange de grau 3 é dado por:
P(t) = sumi=0^3 f(ti) cdot Li(t)
Onde cada Li(t) = prodj=0, j neq i^3 t - tjti - tj é o polinômio básico de Lagrange definido por:

Passo 4

Vamos calcular cada L0(t) = (t - 10)(t - 20)(t - 30)(0 - 10)(0 - 20)(0 - 30) = (t - 10)(t - 20)(t - 30)(-10)(-20)(-30) = (t - 10)(t - 20)(t - 30)-6000 :
Para L1(t) = (t - 0)(t - 20)(t - 30)(10 - 0)(10 - 20)(10 - 30) = t(t - 20)(t - 30)(10)(-10)(-20) = t(t - 20)(t - 30)2000 :
L2(t) = (t - 0)(t - 10)(t - 30)(20 - 0)(20 - 10)(20 - 30) = t(t - 10)(t - 30)(20)(10)(-10) = t(t - 10)(t - 30)-2000
Para L3(t) = (t - 0)(t - 10)(t - 20)(30 - 0)(30 - 10)(30 - 20) = t(t - 10)(t - 20)(30)(20)(10) = t(t - 10)(t - 20)6000 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos cada P(t) = 10 cdot L0(t) + 15 cdot L1(t) + 20 cdot L2(t) + 13 cdot L3(t) na fórmula do polinômio de Lagrange:
P(t) = 10 cdot (t - 10)(t - 20)(t - 30)-6000 + 15 cdot t(t - 20)(t - 30)2000 + 20 cdot t(t - 10)(t - 30)-2000 + 13 cdot t(t - 10)(t - 20)6000
Substituindo os valores de :

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
P(t) = 10-6000(t^3 - 60t^2 + 1100t - 6000) + 152000(t^3 - 50t^2 + 600t) + 20-2000(t^3 - 40t^2 + 300t) + 136000(t^3 - 30t^2 + 200t)
Simplificando os coeficientes:
P(t) = -1600(t^3 - 60t^2 + 1100t - 6000) + 3400(t^3 - 50t^2 + 600t) - 1100(t^3 - 40t^2 + 300t) + 136000(t^3 - 30t^2 + 200t)

Passo 7

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
P(t) = (-1600 + 3400 - 1100 + 136000)t^3 + (60600 - 150400 + 40100 - 396000)t^2 + (-1100600 + 1800400 - 300100 + 266000)t + (6000600)
Calculando cada coeficiente:
Para -1600 + 3400 - 1100 + 136000 = aproximadamente 0.001333 :
60600 - 150400 + 40100 - 396000 = aproximadamente -0.025
Para -1100600 + 1800400 - 300100 + 266000 = aproximadamente 0.35 :
6000600 = 10
Para :
E o termo constante:

Passo 8

Portanto, o polinômio de Lagrange fica aproximadamente:
P(t) = 0.001333t^3 - 0.025t^2 + 0.35t + 10

Passo 9

Para encontrar a data de pico máximo, precisamos encontrar o valor de P'(t) = 0.004t^2 - 0.05t + 0.35 que maximiza 0.004t^2 - 0.05t + 0.35 = 0 . Isso envolve derivar o polinômio e encontrar onde a derivada é zero:
Igualando a zero:
Resolvendo essa equação quadrática para , encontramos o valor de que corresponde à data de pico.

Resposta

O polinômio de Lagrange que interpola os pontos fornecidos é aproximadamente:
P(t) = 0.001333t^3 - 0.025t^2 + 0.35t + 10
A data de pico máximo ocorre aproximadamente no dia correspondente a que maximiza , encontrada resolvendo a equação .

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