A tabela abaixo apresenta a máxima demanda diária de energia elétrica numa cidade:
data
demanda (MW) 10 15 20 13
Determine o polinômio de Lagrange de grau 3 que interpola os pontos e a data de pico máximo.

Passo 1

Olá! Vamos resolver o exercício que envolve encontrar o polinômio de Lagrange de grau 3 que passa pelos pontos dados na tabela de demanda de energia elétrica. O conteúdo principal aqui é interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange. Para resolver isso, precisamos entender como construir o polinômio que interpola os pontos fornecidos e, depois, determinar a data em que ocorre o pico máximo de demanda.

Passo 2

Primeiro, vamos atribuir valores numéricos às datas para facilitar os cálculos. Vamos considerar o dia 21 de janeiro como o dia 0. Assim:
  • 21/Jan: dias
  • 31/Jan: dias
  • 10/Fev: dias
  • 20/Fev: dias
E as demandas correspondentes são:
  • MW
  • MW
  • MW
  • MW

Passo 3

O próximo passo é construir o polinômio de Lagrange. O polinômio de Lagrange de grau 3 é dado por:
Onde cada é o polinômio básico de Lagrange definido por:

Passo 4

Vamos calcular cada :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos cada na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo os valores de :

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:
Para :
Para :
Para :
E o termo constante:

Passo 8

Portanto, o polinômio de Lagrange fica aproximadamente:

Passo 9

Para encontrar a data de pico máximo, precisamos encontrar o valor de que maximiza . Isso envolve derivar o polinômio e encontrar onde a derivada é zero:
Igualando a zero:
Resolvendo essa equação quadrática para , encontramos o valor de que corresponde à data de pico.

Resposta

O polinômio de Lagrange que interpola os pontos fornecidos é aproximadamente:
A data de pico máximo ocorre aproximadamente no dia correspondente a que maximiza , encontrada resolvendo a equação .

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