A tabela abaixo apresenta a máxima demanda diária de energia elétrica numa cidade:
data |
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demanda (MW) | 10 | 15 | 20 | 13 |
Determine o polinômio de Lagrange de grau 3 que interpola os pontos e a data de pico máximo.
Passo 1
Olá! Vamos resolver o exercício que envolve encontrar o polinômio de Lagrange de grau 3 que passa pelos pontos dados na tabela de demanda de energia elétrica. O conteúdo principal aqui é interpolação polinomial, especificamente o método de Lagrange. Para resolver isso, precisamos entender como construir o polinômio que interpola os pontos fornecidos e, depois, determinar a data em que ocorre o pico máximo de demanda.
Passo 2
Primeiro, vamos atribuir valores numéricos às datas para facilitar os cálculos. Vamos considerar o dia 21 de janeiro como o dia 0. Assim:
- 21/Jan:
dias - 31/Jan:
dias - 10/Fev:
dias - 20/Fev:
dias
E as demandas correspondentes são:
-
MW -
MW -
MW -
MW
Passo 3
O próximo passo é construir o polinômio de Lagrange. O polinômio de Lagrange de grau 3 é dado por:
Onde cada
é o polinômio básico de Lagrange definido por:
Passo 4
Vamos calcular cada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos cada
na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo os valores de
:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Calculando cada coeficiente:
Para
:
Para
:
Para
:
E o termo constante:
Passo 8
Portanto, o polinômio de Lagrange fica aproximadamente:
Passo 9
Para encontrar a data de pico máximo, precisamos encontrar o valor de
que maximiza
. Isso envolve derivar o polinômio e encontrar onde a derivada é zero:
Igualando a zero:
Resolvendo essa equação quadrática para
, encontramos o valor de
que corresponde à data de pico.
Resposta
O polinômio de Lagrange que interpola os pontos fornecidos é aproximadamente:
A data de pico máximo ocorre aproximadamente no dia correspondente a
que maximiza
, encontrada resolvendo a equação
.