Dado a parábola de diretriz
e foco
determine as extremidades de sua corda principal.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parábola com diretriz definida pela equação
e foco no ponto
. Precisamos encontrar as extremidades da sua corda principal. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de parábola e suas propriedades.
Passo 2
Sabemos que uma parábola é o conjunto de pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz. Então, para encontrar a equação da parábola, vamos igualar as distâncias de um ponto genérico
até o foco e até a diretriz.
A distância de
ao foco
é dada por:
A distância de
à diretriz
é:
Igualando as duas distâncias:
Passo 3
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, vamos expandir ambos os lados da equação:
Simplificando:
Passo 5
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar as extremidades da corda principal, que é a latus rectum da parábola, precisamos primeiro determinar o eixo de simetria. O eixo de simetria é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Como a diretriz tem coeficiente angular 1, o eixo terá coeficiente angular
.
A equação do eixo de simetria é:
Como passa pelo foco
:
Portanto, o eixo de simetria é
.
Passo 7
A corda principal, ou latus rectum, é a reta perpendicular ao eixo de simetria que passa pelo foco. Como o eixo tem inclinação
, a latus rectum terá inclinação
.
A equação da latus rectum é:
Agora, vamos encontrar a interseção dessa reta com a parábola para determinar as extremidades da corda principal. Substituindo
na equação da parábola:
Simplificando:
Dividindo por 4:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos são:
Resposta
As extremidades da corda principal da parábola são os pontos
e
.