Dado a parábola de diretriz d:-x+y-14=0 e foco F(-6,8) determine as extremidades de sua corda principal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parábola com diretriz definida pela equação e foco no ponto . Precisamos encontrar as extremidades da sua corda principal. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a definição de parábola e suas propriedades.

Passo 2

Sabemos que uma parábola é o conjunto de pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz. Então, para encontrar a equação da parábola, vamos igualar as distâncias de um ponto genérico raiz(x + 6)^2 + (y - 8)^2 até o foco e até a diretriz.
A distância de |-x + y -14|raiz1^2 + (-1)^2 = |-x + y -14|raiz2 ao foco raiz(x + 6)^2 + (y - 8)^2 = |-x + y -14|raiz2 é dada por:
A distância de à diretriz é:
Igualando as duas distâncias:

Passo 3

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x + 6)^2 + (y - 8)^2 = (-x + y -14)^22
Multiplicando ambos os lados por 2:
2(x + 6)^2 + 2(y - 8)^2 = (-x + y -14)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir ambos os lados da equação:
2(x^2 + 12x + 36) + 2(y^2 -16y +64) = x^2 -2xy + y^2 -28y +196
Simplificando:
2x^2 + 24x +72 + 2y^2 -32y +128 = x^2 -2xy + y^2 -28y +196

Passo 5

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
2x^2 +24x +72 +2y^2 -32y +128 -x^2 +2xy -y^2 +28y -196 =0
Simplificando:
x^2 +24x +2xy + y^2 -4y +4 =0

Passo 6

Para encontrar as extremidades da corda principal, que é a latus rectum da parábola, precisamos primeiro determinar o eixo de simetria. O eixo de simetria é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Como a diretriz tem coeficiente angular 1, o eixo terá coeficiente angular y = -x + b .
A equação do eixo de simetria é:
8 = -(-6) + b implies 8 = 6 + b implies b = 2
Como passa pelo foco :
Portanto, o eixo de simetria é .

Passo 7

A corda principal, ou latus rectum, é a reta perpendicular ao eixo de simetria que passa pelo foco. Como o eixo tem inclinação y -8 =1(x +6) implies y = x +14 , a latus rectum terá inclinação x^2 +24x +2x(x +14) + (x +14)^2 -4(x +14) +4 =0 .
A equação da latus rectum é:
4x^2 +76x +144=0
Agora, vamos encontrar a interseção dessa reta com a parábola para determinar as extremidades da corda principal. Substituindo x^2 +19x +36=0 na equação da parábola:
x = -19 pm raiz361 - 1442 = -19 pm raiz2172
Simplificando:
( -19 + raiz217 2, 9 + raiz2172 ) e ( -19 - raiz217 2, 9 - raiz2172 )
Dividindo por 4:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos são:

Resposta

As extremidades da corda principal da parábola são os pontos e .

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