Se a diretriz e o foco de uma parábola
são
e
, então as coordenadas de seu vértice
são?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente tem a diretriz da parábola dada pela equação
e o foco em
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice
dessa parábola.
Matéria envolvida: Geometria analítica, especificamente propriedades das parábolas.
O que precisamos saber:
- A definição de uma parábola como o conjunto de pontos equidistantes do foco e da diretriz.
- Como encontrar o vértice usando o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da diretriz para deixar mais fácil de lidar. A equação dada é
. Podemos rearranjar isso para:
Agora sabemos que a diretriz é a reta
.
Passo 3
Sabemos que o vértice da parábola é o ponto que está exatamente no meio entre o foco e a diretriz, na direção perpendicular à diretriz.
Para encontrar isso, precisamos:
- Encontrar a distância entre o foco
e a diretriz . - Encontrar a direção perpendicular à diretriz para traçar a linha que vai do foco até o vértice.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a distância entre o foco e a diretriz. A fórmula para a distância de um ponto
até uma reta
é:
Nossa diretriz é
, que pode ser reescrita como
. Então,
,
,
e o foco é
.
Vamos substituir esses valores:
Passo 5
Como o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz, precisamos mover a metade dessa distância a partir do foco na direção perpendicular à diretriz.
A direção perpendicular à diretriz
tem coeficiente angular
(porque a diretriz tem coeficiente
, e as retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos reciprocamente).
Então, o vetor de direção é
.
Precisamos normalizar esse vetor para mover uma distância igual a metade de
, que é
.
O vetor unitário na direção
é:
Multiplicando pelo deslocamento:
Passo 6
Agora, vamos aplicar esse deslocamento ao foco para encontrar o vértice.
O foco está em
. Subtraímos o vetor
porque queremos ir do foco em direção à diretriz.
Resposta
As coordenadas do vértice
são
.