Se a diretriz e o foco de uma parábola rho são d:-x+y-18=0 e F(40,-30), então as coordenadas de seu vértice V são?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente tem a diretriz da parábola dada pela equação -x + y - 18 = 0 e o foco em F(40, -30). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice V dessa parábola.
Matéria envolvida: Geometria analítica, especificamente propriedades das parábolas.
O que precisamos saber:
  • A definição de uma parábola como o conjunto de pontos equidistantes do foco e da diretriz.
  • Como encontrar o vértice usando o foco e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da diretriz para deixar mais fácil de lidar. A equação dada é -x + y - 18 = 0. Podemos rearranjar isso para:
y = x + 18
Agora sabemos que a diretriz é a reta y = x + 18.

Passo 3

Sabemos que o vértice da parábola é o ponto que está exatamente no meio entre o foco e a diretriz, na direção perpendicular à diretriz.
Para encontrar isso, precisamos:
  1. Encontrar a distância entre o foco F(40, -30) e a diretriz y = x + 18.
  2. Encontrar a direção perpendicular à diretriz para traçar a linha que vai do foco até o vértice.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a distância entre o foco e a diretriz. A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0) até uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
Nossa diretriz é y = x + 18, que pode ser reescrita como x - y + 18 = 0. Então, A = 1, B = -1, C = 18 e o foco é (40, -30).
Vamos substituir esses valores:
d = |1 cdot 40 + (-1) cdot (-30) + 18|raiz1^2 + (-1)^2 = |40 + 30 + 18|raiz2 = 88raiz2 = 44raiz2

Passo 5

Como o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz, precisamos mover a metade dessa distância a partir do foco na direção perpendicular à diretriz.
A direção perpendicular à diretriz y = x + 18 tem coeficiente angular -1 (porque a diretriz tem coeficiente 1, e as retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos reciprocamente).
Então, o vetor de direção é (1, -1).
Precisamos normalizar esse vetor para mover uma distância igual a metade de 44raiz2, que é 22raiz2.
O vetor unitário na direção (1, -1) é:
( 1raiz2, -1raiz2 )
Multiplicando pelo deslocamento:
( 1raiz2 cdot 22raiz2, -1raiz2 cdot 22raiz2 ) = (22, -22)

Passo 6

Agora, vamos aplicar esse deslocamento ao foco para encontrar o vértice.
O foco está em (40, -30). Subtraímos o vetor (22, -22) porque queremos ir do foco em direção à diretriz.
V = (40 - 22, -30 - (-22)) = (18, -8)

Resposta

As coordenadas do vértice V são (18, -8).

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