Se a diretriz e o foco de uma parábola
são
e
, então as coordenadas de seu vértice
são?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma parábola que tem uma diretriz dada pela equação
e um foco no ponto
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice dessa parábola. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de parábolas, focando em como o foco e a diretriz determinam o vértice.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que em uma parábola, o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz, ao longo do eixo de simetria da parábola. Isso significa que o vértice estará na mesma distância da diretriz que o foco está, mas do lado oposto.
Passo 3
Vamos determinar a distância do foco à diretriz. A equação da diretriz é
. A fórmula para a distância de um ponto
a uma linha
é:
Passo 4
Aplicando a fórmula, com o ponto do foco
e a equação da diretriz
:
Passo 5
Agora, sabemos que o vértice está a metade dessa distância do foco em direção à diretriz. Então, a distância do vértice ao foco será $ \frac{7\sqrt{2}}{2} $.
Também, o eixo de simetria da parábola é a linha perpendicular à diretriz que passa pelo foco. Vamos encontrar a equação dessa linha.
A diretriz
pode ser reescrita como
. A inclinação dessa linha é 1, então a inclinação da perpendicular será
. Portanto, a equação do eixo de simetria é:
Passo 6
O vértice está na linha
e a uma distância $ \frac{7\sqrt{2}}{2} $ do foco. Como a parábola está equilibrada, o vértice estará exatamente na metade entre o foco e a diretriz.
Portanto, as coordenadas do vértice
são
na direção do eixo de simetria. Mas, para simplificar, percebemos que o vértice coincide com o foco no caso especial onde a parábola é simétrica em relação ao eixo de coordenadas.
Resposta
As coordenadas do vértice
são
.