Se a diretriz e o foco de uma parábola rho são d:-x+y-18=0 e F(0,4), então as coordenadas de seu vértice V são?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma parábola que tem uma diretriz dada pela equação -x + y - 18 = 0 e um foco no ponto F(0, 4). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vértice dessa parábola. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de parábolas, focando em como o foco e a diretriz determinam o vértice.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que em uma parábola, o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz, ao longo do eixo de simetria da parábola. Isso significa que o vértice estará na mesma distância da diretriz que o foco está, mas do lado oposto.

Passo 3

Vamos determinar a distância do foco à diretriz. A equação da diretriz é -x + y - 18 = 0. A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0) a uma linha Ax + By + C = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2

Passo 4

Aplicando a fórmula, com o ponto do foco F(0, 4) e a equação da diretriz -x + y - 18 = 0:
d = |-1 cdot 0 + 1 cdot 4 - 18|raiz(-1)^2 + 1^2 = |0 + 4 - 18|raiz1 + 1 = |-14|raiz2 = 14raiz2 = 7raiz2

Passo 5

Agora, sabemos que o vértice está a metade dessa distância do foco em direção à diretriz. Então, a distância do vértice ao foco será $ \frac{7\sqrt{2}}{2} $.
Também, o eixo de simetria da parábola é a linha perpendicular à diretriz que passa pelo foco. Vamos encontrar a equação dessa linha.
A diretriz 7raiz22 pode ser reescrita como -x + y - 18 = 0. A inclinação dessa linha é 1, então a inclinação da perpendicular será y = x + 18. Portanto, a equação do eixo de simetria é:
-1

Passo 6

O vértice está na linha y = -x + 4 e a uma distância $ \frac{7\sqrt{2}}{2} $ do foco. Como a parábola está equilibrada, o vértice estará exatamente na metade entre o foco e a diretriz.
Portanto, as coordenadas do vértice 7raiz22 são V na direção do eixo de simetria. Mas, para simplificar, percebemos que o vértice coincide com o foco no caso especial onde a parábola é simétrica em relação ao eixo de coordenadas.

Resposta

As coordenadas do vértice V são (0, 4).

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