Dado o paralelepípedo retângulo , sejam , e3=A F e e4=A E. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H nos seguintes sistemas de coordenadas:
(a) (A, e1, e2, e3)
(b) (A, e4, e1, e2)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um paralelepípedo retângulo com os vértices A, B, C, D, E, F, G, H. Queremos encontrar as coordenadas desses pontos em dois sistemas de coordenadas diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e sistemas de coordenadas. Precisaremos entender como os vetores definem os eixos do sistema e como posicionar os pontos com base nesses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) da questão: (A, e1, e2, e3). Aqui, o ponto A é a origem do sistema de coordenadas, e os vetores e1, e2, e e3 definem os eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que o ponto A é a origem, então suas coordenadas são (0, 0, 0). Agora, vamos determinar as coordenadas dos outros pontos usando os vetores fornecidos:
e1 = A B: Isso significa que para ir de A a B, seguimos o vetor e1. Portanto, as coordenadas de B serão iguais às componentes de e1: (1, 0, 0) se e1 tiver magnitude 1, por exemplo.
e2 = A C: Similarmente, C estará na direção de e2. Supondo que e2 tenha magnitude 1, as coordenadas de C seriam (0, 1, 0).
e3 = A F: Seguindo esse vetor, o ponto F terá coordenadas (0, 0, 1).
Passo 4
Agora, para encontrar as coordenadas dos demais pontos:
D está no vértice oposto a B no mesmo plano que C, então D = e1 + e2 = (1, 1, 0).
E está no vértice oposto a C no mesmo plano que F, então E = e2 + e3 = (0, 1, 1).
G está no vértice oposto a F no mesmo plano que B, então G = e1 + e3 = (1, 0, 1).
Finalmente, H está no vértice oposto a A, então H = e1 + e2 + e3 = (1, 1, 1).
Resposta
As coordenadas dos pontos no sistema (A, e1, e2, e3) são: