Seja E=(e1, e2, e3) uma base ortonormal. Calcule |u| nos casos:
(a) u=(1,1,1)E
(b) u=-e1+e2
© u=3 e1+4 e3
(d) u=-4 e1+2 e2-e3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a norma (ou comprimento) do vetor u em diferentes casos, usando uma base ortonormal E = (e1, e2, e3). Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma de um vetor quando sabemos suas componentes em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Em uma base ortonormal, os vetores são perpendiculares entre si e cada um tem norma igual a 1. Isso simplifica bastante os cálculos, porque a norma de um vetor u = (u1, u2, u3)E é dada pela fórmula:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Essa fórmula é derivada do Teorema de Pitágoras aplicado em espaços com mais de duas dimensões.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula em cada um dos casos apresentados no exercício.
a) u=(1,1,1)E
Aqui, as componentes do vetor são u1 = 1, u2 = 1 e u3 = 1. Substituindo na fórmula:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
b) u=-e1+e2
As componentes são u1 = -1, u2 = 1 e u3 = 0 (já que não há e3). Substituindo:
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
c) u=3 e1+4 e3
As componentes são u1 = 3, u2 = 0 e u3 = 4. Substituindo:
|u| = raiz3^2 + 0^2 + 4^2 = raiz9 + 0 + 16 = raiz25 = 5
d) u=-4 e1+2 e2-e3
As componentes são u1 = -4, u2 = 2 e u3 = -1. Substituindo:
|u| = raiz(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz16 + 4 + 1 = raiz21

Resposta

(a) |u| = raiz3
(b) |u| = raiz2
© |u| = 5
(d) |u| = raiz21

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