(a) Demonstre que não existe
tal que os vetores
e
sejam perpendiculares.
(b) Encontre o ângulo entre os vetores
e
e entre os vetores
e
.
(b) Encontre o ângulo entre os vetores
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Na parte (a), precisamos mostrar que não existe um valor de
tal que os vetores
e
sejam perpendiculares. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a condição de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar deles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Então, se
e
forem perpendiculares, teremos:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar dos vetores
e
:
Para que os vetores sejam perpendiculares, esse resultado deve ser igual a zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
:
Aqui percebemos que não existe um número real
que, ao ser elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Portanto, não existe nenhum valor de
que satisfaça essa equação.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos encontrar o ângulo entre os vetores
e
, e entre os vetores
e
. Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 6
A fórmula para encontrar o ângulo
entre dois vetores
e
é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
Depois de encontrar o cosseno, usamos a função
para achar o ângulo
.
Passo 7
Primeiro Par de Vetores:
e
- Produto Escalar:
- Normas dos Vetores:
- Cálculo do Cosseno do Ângulo:
- Encontrando o Ângulo:
Segundo Par de Vetores:
e
- Produto Escalar:
- Normas dos Vetores:
- Cálculo do Cosseno do Ângulo:
- Encontrando o Ângulo:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente
, e o ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente
.