(a) Demonstre que não existe x tal que os vetores v=(x, 2,3) e u= (x,-2,3) sejam perpendiculares.
(b) Encontre o ângulo entre os vetores u=(2,1,0) e v=(0,1,-1) e entre os vetores w=(1,1,1) e z=(0,-2,-2).

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Na parte (a), precisamos mostrar que não existe um valor de tal que os vetores e sejam perpendiculares. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a condição de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares quando o produto escalar deles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e v cdot u = 0 é dado por:
Então, se e forem perpendiculares, teremos:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores v cdot u = (x)(x) + (2)(-2) + (3)(3) = x^2 - 4 + 9 = x^2 + 5 e x^2 + 5 = 0 :
Para que os vetores sejam perpendiculares, esse resultado deve ser igual a zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação x^2 = -5 :
Aqui percebemos que não existe um número real que, ao ser elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Portanto, não existe nenhum valor de que satisfaça essa equação.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos encontrar o ângulo entre os vetores e , e entre os vetores e . Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 6

A fórmula para encontrar o ângulo cos(theta) = a cdot b||a|| cdot ||b|| entre dois vetores e é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou magnitudes) dos vetores.
Depois de encontrar o cosseno, usamos a função para achar o ângulo .

Passo 7

Primeiro Par de Vetores: u cdot v = (2)(0) + (1)(1) + (0)(-1) = 0 + 1 + 0 = 1 e ||u|| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5
  1. Produto Escalar:
||v|| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
  1. Normas dos Vetores:
cos(theta) = 1raiz5 cdot raiz2 = 1raiz10 approx 0,3162
theta = arccos(0,3162) approx 71,8^circ
  1. Cálculo do Cosseno do Ângulo:
w cdot z = (1)(0) + (1)(-2) + (1)(-2) = 0 - 2 - 2 = -4
  1. Encontrando o Ângulo:
||w|| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Segundo Par de Vetores: ||z|| = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 e cos(theta) = -4raiz3 cdot 2raiz2 = -42raiz6 = -2raiz6 approx -0,8165
  1. Produto Escalar:
theta = arccos(-0,8165) approx 144^circ
  1. Normas dos Vetores:
  1. Cálculo do Cosseno do Ângulo:
  1. Encontrando o Ângulo:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente , e o ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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