Exprima o vetor w=(1,1) como combinação linear de u=(2,-1) e v= (1,-1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de combinação linear de vetores no plano. Queremos expressar o vetor w = (1,1) como uma combinação dos vetores u = (2,-1) e v = (1,-1). Para isso, precisamos encontrar escalares w = a,u + b,v e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação das combinações lineares usando as componentes dos vetores:
(1,1) = a, (2,-1) + b, (1,-1)
Isso dá duas equações:
2a + b = 1 - a - b = 1

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas:
2a + b = 1 - a - b = 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar 2a + b - a - b = 1 + 1 a = 2 :

Passo 4

Com o valor de -2 - b = 1 - b = 3 b = -3 encontrado, substituímos na segunda equação para encontrar :

Resposta

O vetor w pode ser expresso como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 2,u - 3,v

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