Verifique se os pontos e são colineares ou não. Se não são colineares, existe um único plano que os contém. Use o produto misto para encontrar a equação geral desse plano.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A missão é descobrir se esses pontos estão alinhados numa reta (ou seja, são colineares). Se não estiverem, vamos encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos usando o produto misto.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre vetores no espaço, colinearidade de pontos e como usar o produto misto para determinar a existência de um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os pontos , e são colineares. Para isso, vamos formar dois vetores a partir desses pontos e ver se um é múltiplo do outro.
Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora, vamos verificar se e são colineares. Dois vetores são colineares se um é múltiplo do outro, ou seja, se existir um escalar tal que:
Vamos comparar as componentes:
Como não encontramos um único valor de que satisfaça todas as equações, concluímos que os vetores e não são colineares. Portanto, os pontos , e não estão alinhados numa reta.
Passo 4
Como os pontos não são colineares, existe um único plano que os contém. Para encontrar a equação desse plano, vamos usar o conceito de produto misto, que nos ajuda a determinar a equação geral de um plano a partir de três pontos não colineares.
Primeiro, vamos determinar dois vetores no plano, que já temos: e . O produto vetorial desses dois vetores vai nos dar um vetor normal ao plano.
Vamos calcular :
O produto vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Para :
Para :
Para :
Portanto,
Passo 5
Agora que temos o vetor normal ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde 12(x + 1) + 834(y - 2) - 152(z - 12) = 0 são as componentes do vetor normal 48(x + 1) + 83(y - 2) - 30(z - 12) = 0 e 48x + 48 + 83y - 166 - 30z + 15 = 0 é um dos pontos do plano, por exemplo, o ponto 48x + 83y - 30z - 103 = 0 .
Substituindo os valores:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Simplificando:
Resposta
Os pontos 48x + 83y - 30z - 103 = 0 , e não são colineares. A equação geral do plano que os contém é: