Verifique se os pontos A(-1,2,1 / 2), B(-3 / 2,5,8) e c(2,-1,-3) são colineares ou não. Se não são colineares, existe um único plano que os contém. Use o produto misto para encontrar a equação geral desse plano.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A missão é descobrir se esses pontos estão alinhados numa reta (ou seja, são colineares). Se não estiverem, vamos encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos usando o produto misto.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre vetores no espaço, colinearidade de pontos e como usar o produto misto para determinar a existência de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os pontos AB = B - A = (-32 - (-1), 5 - 2, 8 - 12) = (-12, 3, 152) , AC = C - A = (2 - (-1), -1 - 2, -3 - 12) = (3, -3, -72) e são colineares. Para isso, vamos formar dois vetores a partir desses pontos e ver se um é múltiplo do outro.
Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se AB = k cdot AC e -12 = 3k Rightarrow k = -16 são colineares. Dois vetores são colineares se um é múltiplo do outro, ou seja, se existir um escalar 3 = -3k Rightarrow k = -1 tal que:
152 = -72k Rightarrow k = -157
Vamos comparar as componentes:
Como não encontramos um único valor de que satisfaça todas as equações, concluímos que os vetores e não são colineares. Portanto, os pontos , e não estão alinhados numa reta.

Passo 4

Como os pontos não são colineares, existe um único plano que os contém. Para encontrar a equação desse plano, vamos usar o conceito de produto misto, que nos ajuda a determinar a equação geral de um plano a partir de três pontos não colineares.
Primeiro, vamos determinar dois vetores no plano, que já temos: AB = (-12, 3, 152) e AC = (3, -3, -72) . O produto vetorial desses dois vetores vai nos dar um vetor normal ao plano.
Vamos calcular n = i & j & k -12 & 3 & 152 3 & -3 & -72 = i (3 cdot (-72) - 152 cdot (-3)) - j (-12 cdot (-72) - 152 cdot 3) + k (-12 cdot (-3) - 3 cdot 3) :
3 cdot (-72) - 152 cdot (-3) = -212 + 452 = 242 = 12
-12 cdot (-72) - 152 cdot 3 = 74 - 452 = 74 - 904 = -834
O produto vetorial -12 cdot (-3) - 3 cdot 3 = 32 - 9 = -152 é dado por:
n = (12, 834, -152)
Vamos calcular cada componente:
Para :
Para :
Para :
Portanto,

Passo 5

Agora que temos o vetor normal ao plano, podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde 12(x + 1) + 834(y - 2) - 152(z - 12) = 0 são as componentes do vetor normal 48(x + 1) + 83(y - 2) - 30(z - 12) = 0 e 48x + 48 + 83y - 166 - 30z + 15 = 0 é um dos pontos do plano, por exemplo, o ponto 48x + 83y - 30z - 103 = 0 .
Substituindo os valores:
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Simplificando:

Resposta

Os pontos 48x + 83y - 30z - 103 = 0 , e não são colineares. A equação geral do plano que os contém é:

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