Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema de equações diferenciais dado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de sistema, vamos utilizar o método dos autovalores e autovetores.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Calculando a equação característica:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são complexos: e .
Passo 5
Como os autovalores são complexos, as soluções do sistema serão funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A forma geral das soluções é:
onde .
No nosso caso, e .
Passo 6
Substituindo e na forma geral das soluções, obtemos:
onde e são constantes arbitrárias.
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é dado por: