Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema de equações diferenciais dado por:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de sistema, vamos utilizar o método dos autovalores e autovetores.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a equação característica:
Simplificando:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 5

Como os autovalores são complexos, as soluções do sistema serão funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A forma geral das soluções é:
onde .
No nosso caso, e .

Passo 6

Substituindo e na forma geral das soluções, obtemos:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é dado por:

Exercícios relacionados

Sejam os pontos e , e o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de . Verifique se os pontos e pertencem a e se o vetor é paralelo a .
Dado o plano e a reta AB , sendo e , determine uma equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano e é paralelo ao plano .
Seja . Calcule sen nos casos (a) e (b) e casos © e (d):
(b)
Obtenha o ângulo em radianos entre a reta e o plano .
(b)