Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
x^prime=(ll3 & -2 4 & -1) x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema de equações diferenciais dado por:
x^prime = 3 & -2 4 & -1 x
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de sistema, vamos utilizar o método dos autovalores e autovetores.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
A = 3 & -2 4 & -1
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando a equação característica:
det 3 - lambda & -2 4 & -1 - lambda = (3 - lambda)(-1 - lambda) - (-2)(4)
Simplificando:
(3 - lambda)(-1 - lambda) + 8 = 0
(-3 - 3lambda + lambda + lambda^2) + 8 = 0
lambda^2 - 2lambda + 5 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm 4i2 = 1 pm 2i
Então, os autovalores são complexos: e .

Passo 5

Como os autovalores são complexos, as soluções do sistema serão funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A forma geral das soluções é:
x(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) sin(beta t) + C2 -sin(beta t) cos(beta t) ]
onde .
No nosso caso, e .

Passo 6

Substituindo x(t) = e^t [ C1 cos(2t) sin(2t) + C2 -sin(2t) cos(2t) ] e na forma geral das soluções, obtemos:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é dado por:
x(t) = e^t cos(2t) sin(2t) e x(t) = e^t -sin(2t) cos(2t)

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