Dado o polinômio p(t)=t^2+4 t-21, encontre a matriz p(A) nos seguintes casos:
(a) Se A=(cc2 & 3 3 & -6)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio 2 & 3 3 & -6 e uma matriz . Precisamos encontrar a matriz , que basicamente significa substituir a variável pela matriz no polinômio.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o conceito de polinômio de uma matriz. Quando temos um polinômio como , onde é a matriz identidade, precisamos calcular cada termo separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar calculando A^2 = A times A = 2 & 3 3 & -6 times 2 & 3 3 & -6 . Isso significa multiplicar a matriz A^2 = (2 times 2) + (3 times 3) & (2 times 3) + (3 times -6) (3 times 2) + (-6 times 3) & (3 times 3) + (-6 times -6) = 4 + 9 & 6 - 18 6 - 18 & 9 + 36 = 13 & -12 -12 & 45 por ela mesma:
Multiplicando as matrizes:

Passo 4

Agora, vamos calcular 4A = 4 times 2 & 3 3 & -6 = 8 & 12 12 & -24 . Basta multiplicar cada elemento da matriz por 4:

Passo 5

O próximo passo é calcular -21I = -21 times 1 & 0 0 & 1 = -21 & 0 0 & -21 , onde é a matriz identidade 2x2:

Passo 6

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
p(A) = A^2 + 4A - 21I = 13 & -12 -12 & 45 + 8 & 12 12 & -24 + -21 & 0 0 & -21
Somando elemento por elemento:
p(A) = 13 + 8 - 21 & -12 + 12 + 0 -12 + 12 + 0 & 45 - 24 - 21 = 0 & 0 0 & 0

Resposta

A matriz p(A) = 0 & 0 0 & 0 é a matriz nula:

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