Vamos examinar dois operadores do R^2 que se comportam de maneira diferente quanto aos vetores próprios. São eles T(x, y)=(y, x) e S(x, y)=(x+y, y) cujas matrizes em relação à base canônica são
(T)=(ll 0 & 1 1 & 0 ) e (S)=(ll 1 & 1 0 & 1 )
respectivamente. Os polinômios característicos respectivos são pT(x)=x^2-1 e pS(x)=(1-x)^2, cujas raízes são: pT(x): 1,-1 e pS(x): 1 (dupla). São vetores próprios de T linearmente independentes: f1=(1,1), associado a 1 , e f2=(1,-1), associado a -1.
Logo f1, f2 é uma base de R^2.
Os vetores próprios de S devem satisfazer a condição S(x, y)=(x, y), ou seja, (x+y, y)=(x, y) que equivale ao sistema:
x+y & =x y & =y
cuja solução geral é y =0. O sub-espaço próprio de S é formado então pelos múltiplos do vetor (1,0) e portanto sua dimensão é 1 . Então é impossivel formar uma base de R^2 com vetores próprios de S, contrariamente ao que se verificou com o operador T.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Estamos analisando dois operadores lineares e no espaço . O foco é entender como cada um deles se comporta em relação aos vetores próprios. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos como matrizes de operadores, polinômios característicos, vetores próprios e dimensões de subespaços próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes dos operadores (T) = 0 & 1 1 & 0 e (S) = 1 & 1 0 & 1 e na base canônica de . Elas são dadas por:

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar os polinômios característicos de cada matriz. O polinômio característico de uma matriz pT(x) = det -x & 1 1 & -x = x^2 - 1 é dado por pS(x) = det 1 - x & 1 0 & 1 - x = (1 - x)^2 , onde é a matriz identidade e é uma variável. Para a matriz :
E para a matriz :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as raízes desses polinômios, que são os valores de x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = 1 ou x = -1 que satisfazem (1 - x)^2 = 0 Rightarrow x = 1 (com mu. Para :
E para :

Passo 5

Com as raízes encontradas, identificamos os valores próprios (autovalores) de cada operador. Para , os autovalores são e . Para , o único autovalor é , com multiplicidade dois.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor. Um vetor próprio T(x, y) = (y, x) = lambda (x, y) satisfaz y = lambda x x = lambda y ou y = x Rightarrow f1 = (1, 1) , onde y = -x Rightarrow f2 = (1, -1) é o autovalor.
Para o operador S(x, y) = (x + y, y) = lambda (x, y) :
x + y = lambda x y = lambda y
Isso resulta no sistema:
x + y = x Rightarrow y = 0 y = y
Resolvendo para :
Para :
Já para o operador :
Isso leva ao sistema:
Para :
Portanto, os vetores próprios de são da forma , ou seja, os múltiplos do vetor .

Passo 7

Agora, vamos analisar a independência linear dos vetores próprios. Para , temos dois vetores próprios e que são linearmente independentes, formando uma base de .
Para , todos os vetores próprios são múltiplos de , o que significa que o subespaço próprio tem dimensão 1. Portanto, não podemos formar uma base de apenas com vetores próprios de .

Resposta

O operador possui uma base de formada por seus vetores próprios e , que são linearmente independentes. Já o operador possui apenas um vetor próprio (up to multiples) , formando um subespaço próprio de dimensão 1. Portanto, é impossível formar uma base de com vetores próprios de , ao contrário do que ocorre com o operador .

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