Vamos examinar dois operadores do
que se comportam de maneira diferente quanto aos vetores próprios. São eles
e
cujas matrizes em relação à base canônica são
respectivamente. Os polinômios característicos respectivos são
e
, cujas raízes são:
e
(dupla). São vetores próprios de
linearmente independentes:
, associado a 1 , e
, associado a -1.
Logo
é uma base de
.
Os vetores próprios de
devem satisfazer a condição
, ou seja,
que equivale ao sistema:
cuja solução geral é y
. O sub-espaço próprio de
é formado então pelos múltiplos do vetor
e portanto sua dimensão é 1 . Então é impossivel formar uma base de
com vetores próprios de
, contrariamente ao que se verificou com o operador T.
Logo
Os vetores próprios de
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Estamos analisando dois operadores lineares
e
no espaço
. O foco é entender como cada um deles se comporta em relação aos vetores próprios. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos como matrizes de operadores, polinômios característicos, vetores próprios e dimensões de subespaços próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as matrizes dos operadores
e
na base canônica de
. Elas são dadas por:
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar os polinômios característicos de cada matriz. O polinômio característico de uma matriz
é dado por
, onde
é a matriz identidade e
é uma variável. Para a matriz
:
E para a matriz
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as raízes desses polinômios, que são os valores de
que satisfazem
. Para
:
E para
:
Passo 5
Com as raízes encontradas, identificamos os valores próprios (autovalores) de cada operador. Para
, os autovalores são
e
. Para
, o único autovalor é
, com multiplicidade dois.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada autovalor. Um vetor próprio
satisfaz
ou
, onde
é o autovalor.
Para o operador
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo para
:
Para
:
Já para o operador
:
Isso leva ao sistema:
Para
:
Portanto, os vetores próprios de
são da forma
, ou seja, os múltiplos do vetor
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a independência linear dos vetores próprios. Para
, temos dois vetores próprios
e
que são linearmente independentes, formando uma base de
.
Para
, todos os vetores próprios são múltiplos de
, o que significa que o subespaço próprio tem dimensão 1. Portanto, não podemos formar uma base de
apenas com vetores próprios de
.
Resposta
O operador
possui uma base de
formada por seus vetores próprios
e
, que são linearmente independentes. Já o operador
possui apenas um vetor próprio (up to multiples)
, formando um subespaço próprio de dimensão 1. Portanto, é impossível formar uma base de
com vetores próprios de
, ao contrário do que ocorre com o operador
.