Dado o polinômio p(t)=t^2+4 t-21, encontre a matriz p(A) nos seguintes casos:
© se A=(cc-4 & 7 3 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio -4 & 7 3 & 0 e precisa encontrar a matriz quando . Isso envolve operações com matrizes e polinômios, então vamos usar as regras de álgebra de matrizes para calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular p(A) = A^2 + 4A - 21I , substituímos pela matriz no polinômio. Ou seja,
Aqui, é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos calcular A = -4 & 7 3 & 0 primeiro. Para isso, multiplicamos a matriz A^2 = A cdot A = -4 & 7 3 & 0 cdot -4 & 7 3 & 0 por ela mesma:
A^2 = 37 & -28 -12 & 21
Multiplicando por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular 4A = 4 cdot -4 & 7 3 & 0 = -16 & 28 12 & 0 . Basta multiplicar cada elemento de por 4:

Passo 5

Precisamos também calcular I = 1 & 0 0 & 1 , onde 21I = 21 cdot 1 & 0 0 & 1 = 21 & 0 0 & 21 é a matriz identidade 2x2:
Então,

Passo 6

Agora, juntamos tudo na expressão p(A) = 37 & -28 -12 & 21 + -16 & 28 12 & 0 - 21 & 0 0 & 21 :
Vamos somar e subtrair as matrizes elemento a elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):

Resposta

Portanto, a matriz p(A) = 0 & 0 0 & 0 é:

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